大学で初めて力学をやるんだが
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z軸を回転軸ωとしてxy平面上の運動を考える ※
ω=ωe₃に対してr=r₁e₁+r₂e₂、v=v₁e₁+v₂e₂とおける。どちらも
ω×(r×ω)=ω×(-r₁ωe₂+r₂ωe₁)
=r₂ω²e₂+r₁ω²e₁=ω²r
※の条件がなければω×a×ωとaは平行とは限らない。
一般には
(a×b)×c=(a・c)b-(b・c)a
=-c×(a×b)=-(c・b)a+(c・a)b
(b×c)×a=(b・a)c-(c・a)b
(c×a)×b=(c・b)a-(a・b)c
a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)c
b×(c×a)=(b・a)c-(b・c)a
c×(a×b)=(c・b)a-(c・a)b
ka∈R³、a・b∈R、a×b∈R³
(a×b)×c、a×(b×c)
(a×b)・c、a・(b×c)
(a・b)c、a(b・c)
ω=ωe₃に対してr=r₁e₁+r₂e₂、v=v₁e₁+v₂e₂とおける。どちらも
ω×(r×ω)=ω×(-r₁ωe₂+r₂ωe₁)
=r₂ω²e₂+r₁ω²e₁=ω²r
※の条件がなければω×a×ωとaは平行とは限らない。
一般には
(a×b)×c=(a・c)b-(b・c)a
=-c×(a×b)=-(c・b)a+(c・a)b
(b×c)×a=(b・a)c-(c・a)b
(c×a)×b=(c・b)a-(a・b)c
a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)c
b×(c×a)=(b・a)c-(b・c)a
c×(a×b)=(c・b)a-(c・a)b
ka∈R³、a・b∈R、a×b∈R³
(a×b)×c、a×(b×c)
(a×b)・c、a・(b×c)
(a・b)c、a(b・c)
2022/12/16(金)20:51:50.00(???.net)
54ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
2・5
I[x]は関数xの関数。汎関数と言う。I=∫[t₁→t₂] F(x, v, t)dt
作用積分または単に作用という
変分δI=I'-I=I[x+⊿x]−I[x]、
x'(t)=x(t)+⊿x(t)
δI[x]=δ(∫F(x v t)dt)
=∫ (F(x+⊿x、v+⊿v、t)
−F(x v t))dt
=∫((∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂v)⊿v)dt
(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)
=(d/dt)(∂F/∂v)⊿x+(∂F/∂v)⊿v
δI=∫((∂F/∂x)−(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)dt
∫(d/dt)(∂F/∂v)⊿xdt
[(∂F/∂v)⊿x]=[f(t)⊿x]
=f(t₂)×0−f(t₁)×0=0
d(X(t)−x(t))/dt=X'(t)−x'(t)
=V(t)−v(t)=⊿v(t)
∴ ∂F/∂x=(d/dt)(∂F/∂v)
(Eulerの方程式)
汎関数I[x]に対して変分δI=I[x+⊿x]−I[x]。Iが極値を取る時、
δI=∫F(x v t)dt=0 (変分原理)
t₁、t₂のみならずその間ずっと最小値を取るような軌道。tに関わらず変分δIが0になる。tを止めてx、vの関数として⊿xの係数を0にすれば⊿x≠0の場合であっても変分δIは0になる。
F(x+⊿x, y+⊿y)=F(x, y)+
(∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂y)⊿y+
(∂²F/∂x²)(⊿x)²/2+
I[x]は関数xの関数。汎関数と言う。I=∫[t₁→t₂] F(x, v, t)dt
作用積分または単に作用という
変分δI=I'-I=I[x+⊿x]−I[x]、
x'(t)=x(t)+⊿x(t)
δI[x]=δ(∫F(x v t)dt)
=∫ (F(x+⊿x、v+⊿v、t)
−F(x v t))dt
=∫((∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂v)⊿v)dt
(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)
=(d/dt)(∂F/∂v)⊿x+(∂F/∂v)⊿v
δI=∫((∂F/∂x)−(d/dt)((∂F/∂v)⊿x)dt
∫(d/dt)(∂F/∂v)⊿xdt
[(∂F/∂v)⊿x]=[f(t)⊿x]
=f(t₂)×0−f(t₁)×0=0
d(X(t)−x(t))/dt=X'(t)−x'(t)
=V(t)−v(t)=⊿v(t)
∴ ∂F/∂x=(d/dt)(∂F/∂v)
(Eulerの方程式)
汎関数I[x]に対して変分δI=I[x+⊿x]−I[x]。Iが極値を取る時、
δI=∫F(x v t)dt=0 (変分原理)
t₁、t₂のみならずその間ずっと最小値を取るような軌道。tに関わらず変分δIが0になる。tを止めてx、vの関数として⊿xの係数を0にすれば⊿x≠0の場合であっても変分δIは0になる。
F(x+⊿x, y+⊿y)=F(x, y)+
(∂F/∂x)⊿x+(∂F/∂y)⊿y+
(∂²F/∂x²)(⊿x)²/2+
2022/12/17(土)00:31:56.08(???.net)
55ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
Lagrange方程式をEuler−Lagrange方程式とも言う。
Hamiltonの変分原理または最小作用の原理
停留点=極値点、鞍点、変曲点
極値を取るとは言えない。すなわち極小値を取るとは言えない。更には最小値を取るとは言えない。
条件としてはあくまでも一時停留しているだけであり極大値を取る例もある。
Hamiltonの変分原理または最小作用の原理
停留点=極値点、鞍点、変曲点
極値を取るとは言えない。すなわち極小値を取るとは言えない。更には最小値を取るとは言えない。
条件としてはあくまでも一時停留しているだけであり極大値を取る例もある。
2022/12/17(土)01:14:40.73(???.net)
56ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
dt=dl/C、C=c/nより
t=∫dt=∫ndl/c
dl=√((dx)²+(dy)²)=dx√(1+Y²)
ここではxy平面上の運動を考える。t=∫(n/c)√(1+Y²)dx
(1) n(x y z)=n=一定の時、
F(y Y x)=(n/c)√(1+Y²)
∂F/∂y=0
(d/dt)(∂F/∂Y)=(d/dt)(Y/√(1+Y²))=0
∴Y²=A²(1+Y²)、Y=aとおける。
y=ax+b、直線軌道。
(2) n(x y)=n/yの時、
(d/dx)(∂F/∂Y)−(∂F/∂y)=0
の両辺にYを掛ける。
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−Y(∂F/∂y)=0
dF/dx−(∂F/∂y)Y=(∂F/∂Y)(dY/dx)
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−dF/dx
+(∂F/∂Y)(dY/dx)
∴(d/dx)((Y(∂F/∂Y)−F))=0
Y(∂F/∂Y)−F=一定
F=(n/cy)√(1+Y²)の時、
(n/cy)Y²/√(1+Y²)=(n/cy)√(1+Y²)+A
y√(1+Y²)=−n/Ac
(1+Y²)y²=r₀²=(n/Ac)² (r₀>0とする)
dy/dx=±√(r₀²y²)/y
dx=±ydy/(√r₀²−y²)
x=±√(r₀²−y²)+x₀
(x−x₀)²+y²=r₀²
これは中心(x₀, 0)、半径r₀の円を表す。円軌道。r₀=n/|A|c、|A|=n/cr₀。
t=∫dt=∫ndl/c
dl=√((dx)²+(dy)²)=dx√(1+Y²)
ここではxy平面上の運動を考える。t=∫(n/c)√(1+Y²)dx
(1) n(x y z)=n=一定の時、
F(y Y x)=(n/c)√(1+Y²)
∂F/∂y=0
(d/dt)(∂F/∂Y)=(d/dt)(Y/√(1+Y²))=0
∴Y²=A²(1+Y²)、Y=aとおける。
y=ax+b、直線軌道。
(2) n(x y)=n/yの時、
(d/dx)(∂F/∂Y)−(∂F/∂y)=0
の両辺にYを掛ける。
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−Y(∂F/∂y)=0
dF/dx−(∂F/∂y)Y=(∂F/∂Y)(dY/dx)
Y(d/dx)(∂F/∂Y)−dF/dx
+(∂F/∂Y)(dY/dx)
∴(d/dx)((Y(∂F/∂Y)−F))=0
Y(∂F/∂Y)−F=一定
F=(n/cy)√(1+Y²)の時、
(n/cy)Y²/√(1+Y²)=(n/cy)√(1+Y²)+A
y√(1+Y²)=−n/Ac
(1+Y²)y²=r₀²=(n/Ac)² (r₀>0とする)
dy/dx=±√(r₀²y²)/y
dx=±ydy/(√r₀²−y²)
x=±√(r₀²−y²)+x₀
(x−x₀)²+y²=r₀²
これは中心(x₀, 0)、半径r₀の円を表す。円軌道。r₀=n/|A|c、|A|=n/cr₀。
2022/12/17(土)03:16:28.99(???.net)
57ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
2−6
仮想仕事の原理
作用積分、変分原理
静力学的=静止∨等速度運動
動力学的=時間発展する運動
→ダランベールの原理
慣性力−mα
δVj=Vj−Vj₀=0、δrj=rj−rj₀
δW=∑Fj・δrj=0
Fj=−∇Vj=−dVj/dxの時、
δW=∑−(∇Vj)・δrj=0
仮想変位δrjの中ではδVj=0。この範囲でδVj=0またはδr⊥Fj。
重力mgと束縛力拘束力張力S。張力は変位を生じないので省く。
(−mgsinθ)
−mα(θ)=−mlΘ
δr=lδθ
最小作用の原理より
(−mgsinθ−mlΘ')lδθ=0
d²θ/dt²=−−(g/l)sinθ
Lagrangeの原理より
L=T−U=ml²Θ²/2−mglcosθ
(d/dt)(ml²Θ)=−mglsinθ
d²θ/dt²=−(g/l)sinθを得る。
仮想仕事の原理より
(mg−mα(x))δx−mα(y)δy=0
∑Fj・δrj=0
x=lcosθ、y=lsinθより
仮想仕事の原理
作用積分、変分原理
静力学的=静止∨等速度運動
動力学的=時間発展する運動
→ダランベールの原理
慣性力−mα
δVj=Vj−Vj₀=0、δrj=rj−rj₀
δW=∑Fj・δrj=0
Fj=−∇Vj=−dVj/dxの時、
δW=∑−(∇Vj)・δrj=0
仮想変位δrjの中ではδVj=0。この範囲でδVj=0またはδr⊥Fj。
重力mgと束縛力拘束力張力S。張力は変位を生じないので省く。
(−mgsinθ)
−mα(θ)=−mlΘ
δr=lδθ
最小作用の原理より
(−mgsinθ−mlΘ')lδθ=0
d²θ/dt²=−−(g/l)sinθ
Lagrangeの原理より
L=T−U=ml²Θ²/2−mglcosθ
(d/dt)(ml²Θ)=−mglsinθ
d²θ/dt²=−(g/l)sinθを得る。
仮想仕事の原理より
(mg−mα(x))δx−mα(y)δy=0
∑Fj・δrj=0
x=lcosθ、y=lsinθより
2022/12/17(土)18:42:06.29(???.net)
58ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
2−7
δI=∫∑(F-mα)δxdt=δI₁+δI₂=0
Fを保存力とすれば
δI₁=∫∑Fδxdt=∫∑-(∂U/∂x)δxdt
=-δ(∫Udt)
(∂U/∂x)δx+(∂U/∂y)δy
≒U(x+δx, y+δy)-U(x, y)
=δU
∴-∫δUdt=∫U₂dt-∫U₁dt=δ(∫-Udt)
δI₂=-∫∑mαδvdt
=-[mvδx]+∫∑mv(d(δx)/dt)dt
t=t₁, t₂の時、δx=x₂(t)-x₁(t)=0
∵x₂(t₁)=x₁(t₁)、x₂(t₁)=x₁(t₂)
=∫∑mvδvdt=δ(∫mv²/2)=δ(∫Tdt)
∴δI=δ(I₁+I₂)
=δ(∫(T-U)dt)=δ(∫Ldt)=0
=作用積分の変分原理
δI=∫∑(F-mα)δxdt=δI₁+δI₂=0
Fを保存力とすれば
δI₁=∫∑Fδxdt=∫∑-(∂U/∂x)δxdt
=-δ(∫Udt)
(∂U/∂x)δx+(∂U/∂y)δy
≒U(x+δx, y+δy)-U(x, y)
=δU
∴-∫δUdt=∫U₂dt-∫U₁dt=δ(∫-Udt)
δI₂=-∫∑mαδvdt
=-[mvδx]+∫∑mv(d(δx)/dt)dt
t=t₁, t₂の時、δx=x₂(t)-x₁(t)=0
∵x₂(t₁)=x₁(t₁)、x₂(t₁)=x₁(t₂)
=∫∑mvδvdt=δ(∫mv²/2)=δ(∫Tdt)
∴δI=δ(I₁+I₂)
=δ(∫(T-U)dt)=δ(∫Ldt)=0
=作用積分の変分原理
2022/12/17(土)22:00:43.58(???.net)
59ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
2-8
R=δ∫Tdt=m∫(v･δv)dt
(v･δr)'dt=(α･δr)dt+(v･δv)dt、
R=−m∫δr･αdt=−(∫(mα･δr)dt
=−∫e(E+v×B)･δrdt
ここでE=−∇φ−∂A/∂t B=∇×A
R=e∫(∇φ)+∂A/∂t−v×(∇×A))･δrdt
=e∫∇φ-∇(v･A)+∂A/∂t+(v･∇)A)･δrdt
=e[φ−(v・A)]+e∫(dA/dt)・δrdt
U=e(φ−v・A)とおくと
R=−(d/dt)(∂U/∂v)+∂U/∂r
U=eφ−e(v･A)の時、
L=T−U=mv²/2−eφ+e(v･A)
(d/dt)(∂L/∂v)=mα+edA/dt
∂L/∂r=−e∇φ+e∇(v・A)
ここで
v×(∇×A)=∇(v・A)−dA/dt+∂A/∂t
∂L/∂r=−e(∇φ+v×(∇×A))
+e(dA/dt−∂A/∂t)
∴ mα=−e(∇φ+v×(∇×A)+e∂A/∂t)
=e(−∇φ−∂A/∂t)+ev×(∇×A)
E=−∇φ−∂A/∂t、B=∇×Aとおくと
F=e(E+v×B)となる。
R=δ∫Tdt=m∫(v･δv)dt
(v･δr)'dt=(α･δr)dt+(v･δv)dt、
R=−m∫δr･αdt=−(∫(mα･δr)dt
=−∫e(E+v×B)･δrdt
ここでE=−∇φ−∂A/∂t B=∇×A
R=e∫(∇φ)+∂A/∂t−v×(∇×A))･δrdt
=e∫∇φ-∇(v･A)+∂A/∂t+(v･∇)A)･δrdt
=e[φ−(v・A)]+e∫(dA/dt)・δrdt
U=e(φ−v・A)とおくと
R=−(d/dt)(∂U/∂v)+∂U/∂r
U=eφ−e(v･A)の時、
L=T−U=mv²/2−eφ+e(v･A)
(d/dt)(∂L/∂v)=mα+edA/dt
∂L/∂r=−e∇φ+e∇(v・A)
ここで
v×(∇×A)=∇(v・A)−dA/dt+∂A/∂t
∂L/∂r=−e(∇φ+v×(∇×A))
+e(dA/dt−∂A/∂t)
∴ mα=−e(∇φ+v×(∇×A)+e∂A/∂t)
=e(−∇φ−∂A/∂t)+ev×(∇×A)
E=−∇φ−∂A/∂t、B=∇×Aとおくと
F=e(E+v×B)となる。
2022/12/19(月)04:12:55.68(???.net)
60ご冗談でしょう？名無しさん [sage]
3−1
d(pQ−L)=d(pQ−T+U)
=∑(vdp+(P+G')dq)−(∂L/∂t)dt
(∂T/∂q)dq+Fdq
=(∂T/∂t)(dt/dq)dq+Fdq
mvα/v=(mα+F)dq=(G+F)dq
L=T−U=mv²/2−kx²/2
H=pQ−L=pv−p²/2m+kx²/2
=p²/2m+kx²/2
∂L/∂v=p=mv+eA
L=T−U=(mv)²/2m−eφ+ev・A
H=p・v−L=eφ+(mv)²/2
=eφ+(p−eA)²/2m
d(pQ−L)=d(pQ−T+U)
=∑(vdp+(P+G')dq)−(∂L/∂t)dt
(∂T/∂q)dq+Fdq
=(∂T/∂t)(dt/dq)dq+Fdq
mvα/v=(mα+F)dq=(G+F)dq
L=T−U=mv²/2−kx²/2
H=pQ−L=pv−p²/2m+kx²/2
=p²/2m+kx²/2
∂L/∂v=p=mv+eA
L=T−U=(mv)²/2m−eφ+ev・A
H=p・v−L=eφ+(mv)²/2
=eφ+(p−eA)²/2m
2022/12/19(月)23:40:17.84(???.net)
61ご冗談でしょう？名無しさん [sage？そ！]
3−2
dH=(∑(H_q)dq+(H_p)dp)+(H_t)dt
=d(∑pQ−L)=d(∑(pQ)−T+U)
=Qdp−Gdq−(∂T/∂q)dq−(∂L/∂t)dt
=Qdp−Pdq−
dq/dt=∂H/∂p、−dp/dt=∂H/∂q
Hamiltonの正準方程式
dH/dt=∑(∂H/∂q)(∂q/∂t)
+∑(∂H/∂p)(∂p/∂t)+(∂H/∂t)
=∑(∂H/∂p)(G'−∂H/∂q)
+∑(∂H/∂q)(∂H/∂p)
=G'∑(∂H/∂p)=0
G'=0の時、T+U=一定
∂H/∂p=0の時、dq/dt=0
q=一定。p=0となり
T+U=U(q₀)=一定である。
dH=(∑(H_q)dq+(H_p)dp)+(H_t)dt
=d(∑pQ−L)=d(∑(pQ)−T+U)
=Qdp−Gdq−(∂T/∂q)dq−(∂L/∂t)dt
=Qdp−Pdq−
dq/dt=∂H/∂p、−dp/dt=∂H/∂q
Hamiltonの正準方程式
dH/dt=∑(∂H/∂q)(∂q/∂t)
+∑(∂H/∂p)(∂p/∂t)+(∂H/∂t)
=∑(∂H/∂p)(G'−∂H/∂q)
+∑(∂H/∂q)(∂H/∂p)
=G'∑(∂H/∂p)=0
G'=0の時、T+U=一定
∂H/∂p=0の時、dq/dt=0
q=一定。p=0となり
T+U=U(q₀)=一定である。
2022/12/21(水)01:32:58.73(???.net)
62ご冗談でしょう？名無しさん [sage？そ！]
3−3
配位空間(x₁ x₂ x₃)
位相空間(q₁ p₁)正準共役変数の組
1次元調和振動子のHamiltonH
H=p²/2m+kq²/2
dH/dt=pP/m+kqQ=−kpq/m+kqp/m=0
Q=∂H/∂p=p/m、P=−∂H/∂q=−kq
(1) p²/(√2m)²+q²/(√(2/k))²=C²
C>0は初期条件。
(2) Q=p/m、P=−kq
(3) v(p, −q)⊥r(q, p)
→↓、←↓、←↑、→↑
配位空間(x₁ x₂ x₃)
位相空間(q₁ p₁)正準共役変数の組
1次元調和振動子のHamiltonH
H=p²/2m+kq²/2
dH/dt=pP/m+kqQ=−kpq/m+kqp/m=0
Q=∂H/∂p=p/m、P=−∂H/∂q=−kq
(1) p²/(√2m)²+q²/(√(2/k))²=C²
C>0は初期条件。
(2) Q=p/m、P=−kq
(3) v(p, −q)⊥r(q, p)
→↓、←↓、←↑、→↑
2022/12/21(水)16:20:28.95(???.net)