dx dy の意味は？★２
AAS
微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…
微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ
※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/
2022/01/15(土)21:40:30.08(so1VKQTS.net)
2１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/15(土)21:44:27.27(lP/M2Ihp.net)
3１３２人目の素数さん
X = [0, 1]とする
f(x)を、Xを含む開区間で微分可能な関数とすると
df = f'(x) dx
という変換法則をみたすものが微分形式らしい
そして、微分形式には∫_X という操作が定義できて
∫_X df = f(1) - f(0)
をみたす
以上は、変数変換によらず成り立つらしい
2022/01/15(土)23:27:33.43(bBvC9JJR.net)
4１３２人目の素数さん
∂x(f) = f'(0)
で定まる写像∂xを考える
x = u(t)
と変数変換する（uも微分可能で、x = 0の十分小さな近傍で1対1。簡単のためt = 0でx = 0とする）と
∂u(f) = (f○u)'(0) = u'(0)f'(0)
となるから、
∂u = u'(0)∂x
となる。
つまり、∂とdは変数変換に対して同じ変換法則が成り立つらしい
2022/01/15(土)23:37:59.88(bBvC9JJR.net)
5１３２人目の素数さん
x = pで微分可能な関数の空間から実数への線形写像で
∂(fg) = ∂(f)g(p) + f(p)∂(g)
を満たすものとして特徴付けられるらしい
この定義は、上と違って座標のとり方によらない
だから、
@ 各点に対して∂を定義する
A ∂たちの空間の双対空間として、dたちの空間を定義する
こうすると、座標系の取り方によらずに定義できるらしい
2022/01/15(土)23:49:38.76(bBvC9JJR.net)
6１３２人目の素数さん
偶然にも重積分の変換法則と同じになるらしい（ただし±1倍の違いをのぞく）
2022/01/15(土)23:52:50.63(bBvC9JJR.net)
7１３２人目の素数さん
うろ覚えだから、正しくできる人訂正してくれ
2022/01/15(土)23:53:24.68(bBvC9JJR.net)
8１３２人目の素数さん
写像φ: X → Y
を考える
X, Yの∂たちの空間をTX, TY、dたちの空間をΩX, ΩYと書くことにする
φによって
TX → TY
∂ → (f → ∂(f○φ))
ΩY → ΩX
df → d(f○φ)
という線形写像が定まる
dたちの空間を∂たちの空間の双対空間として定義する理由はこれ
XY間の写像との対応で、矢印が逆になるから
2022/01/16(日)00:06:39.37(+hJIPUmT.net)
9１３２人目の素数さん
もしかしたら微分形式や接ベクトルは、物理や幾何学の概念の抽象化としてではなく
単純に多様体の圏からベクトル空間の圏への関手として導入された方が、すんなり理解できるのかも知れない
2022/01/16(日)00:12:21.61(+hJIPUmT.net)
10１３２人目の素数さん [sage]
対として〈dω,D〉と表示すればストークスの定理は
〈dη,C〉=〈η,∂C〉 と書かれることになる
ddη＝0であるし∂∂Cでもあることからわかるように
微分形式の外微分作用素と部分多様体の境界作用素
は双対の関係になっており、これがコホモロジーと
ホモロジーの双対性につながっているわけなのだ
コホモロジーはベクトル空間であるだけではなく
環としての構造をもっているのだが、他でもなく
それは、微分形式のもつ外積ω ∧ ηに由来している
2022/01/16(日)17:46:30.74(IaXr2j22.net)
11１３２人目の素数さん
向きも定義できるからだな
2022/01/16(日)20:02:53.70(x8HBvCAG.net)
12１３２人目の素数さん
2022/01/16(日)22:58:55.04(aYeIZL0o.net)
13１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)00:37:46.80(5pFcNToC.net)
14１３２人目の素数さん
余積構造って何？
2022/01/17(月)11:05:16.75(SFk+KLsy.net)
15１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/17(月)14:34:24.59(Pb1uhpDZ.net)
16１３２人目の素数さん
これは幾何学的な接線や接平面と関係あるのか？
2022/01/17(月)15:15:46.53(I0LiSqDK.net)
17１３２人目の素数さん
その方向に沿った微分なんだから
2022/01/17(月)16:00:28.81(Z4dRV4mw.net)
18１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)16:09:47.46(9v4xaKV+.net)
19１３２人目の素数さん
Mは十分大きなR^Nに埋め込まれているとする。
p_0の十分小さな近傍Uでは、R^nの開集合Wとの間の同相写像。
p: W → U
が存在。
何次元でも同じなので、2次元とする
s_0, t_0を、p(s_0, t_0) = p_0を満たすものとする。
p_0における（幾何学的な）接平面はp_0を通り、{∂p/∂s(s_0, t_0), ∂p/∂t(s_0, t_0)} で張られる平面。
続いて、方向微分。p_0を通る曲線εを考える。IをRの開区間として、εは
ε: I → M
と書けるとする。これは上のpによって、局所的には
ε: I → W → M
u → (s(u), t(u)) → p(s(u), t(u))
を考えるのと同じ。これをuで微分すると、ε(u_0) =(s_0, t_0)として
∂s/∂u(u_0) ∂p/∂s(s_0, t_0) + ∂t/∂u(u_0) ∂p/∂t(s_0, t_0)
となる。つまり、これ + p_0は接平面上の点になる。
2022/01/17(月)16:10:51.48(R3o1PZL6.net)
20１３２人目の素数さん
多様体上の接ベクトルや方向微分の定義になる
（より正確には、f → A ∂f○p/∂s + B∂f○p/∂t という写像が、それらの定義）
上ではMはR^Nに埋め込まれている場合を考えたが、
標準的な埋め込みというものは無い。だから、pをR^Nのベクトルと考えることができない。内在的に定義するとこうなる
この定義から、>>19の定義を復元するには、fとしてR^Nの座標関数を取ればいい
2022/01/17(月)16:18:13.12(R3o1PZL6.net)
21１３２人目の素数さん
以上は、登場人物全部が何回でも微分可能な場合
それ以外はよう知らん。ごめん
2022/01/17(月)16:25:59.88(R3o1PZL6.net)
22１３２人目の素数さん
微分である以上接ベクトルと呼ぶことに違和感はないと思いますよ
2022/01/17(月)17:18:59.95(t4+ZiAqP.net)
23１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)17:35:06.61(Mx3z05C8.net)
24１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)19:01:42.19(9v4xaKV+.net)
25１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/17(月)19:05:17.01(5P8Ux9fA.net)
26１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/17(月)19:28:01.09(FR3Fj4GO.net)
27１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)20:08:53.61(VYK+wuQY.net)
28１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)20:11:08.05(Z2aplBry.net)
29１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)20:27:53.87(9v4xaKV+.net)
30１３２人目の素数さん [sage]
シベリアの山奥とかならスミルノフ高等数学教程ぐらいしかマトモに網羅的な教科書に触れる機会がないなんて状況もあるかもしれないが
2022/01/17(月)20:34:46.24(FR3Fj4GO.net)
31１３２人目の素数さん
わかるなら書けるはずですよね
書かないということはわからないということです
2022/01/17(月)20:37:28.97(9v4xaKV+.net)
32１３２人目の素数さん
それに対して劣等感が1行目の「接ベクトルと呼ばれる理由」にフォーカスを当てておかしな方向に行ってる気がする
日本語が読めないんですねと言ってる人が日本語を読めていない状況
2022/01/17(月)20:39:55.71(nU1puJoz.net)
33１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/17(月)21:12:16.64(jjU4GbVf.net)
34１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)21:15:35.06(9v4xaKV+.net)
35１３２人目の素数さん
分からないのを誤魔化すために理屈を組み立てるのは、みっともないぞ
2022/01/17(月)21:24:12.54(VYK+wuQY.net)
36１３２人目の素数さん
2022/01/17(月)22:54:14.87(ynymvUPq.net)
37１３２人目の素数さん
しかも接平面上の点と一対一対応してるんだし
2022/01/17(月)23:23:18.75(ajsE0Y1f.net)
38１３２人目の素数さん
2022/01/18(火)10:30:02.26(zAAUfQDg.net)
39１３２人目の素数さん
2022/01/18(火)10:58:23.40(CFuspnhf.net)
40１３２人目の素数さん
国語が苦手なのでしょう
2022/01/18(火)11:11:39.08(IeliUhxm.net)
41１３２人目の素数さん [sage]
まっさか様。
2022/01/18(火)12:30:15.57(TtVFgisU.net)
42１３２人目の素数さん
2022/01/18(火)12:42:54.17(ThGFOhy0.net)
43１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/18(火)16:25:35.70(moLsF9rY.net)
44１３２人目の素数さん
高校生でも間違ってるとわかりますね
2022/01/18(火)16:26:51.83(IeliUhxm.net)
45１３２人目の素数さん
微分というのは、関数にその導関数あるいは微分係数を対応させる操作のこと
接線というのは、曲線のある点に接する直線のことだが、
「微分が接線を表す」とは、どういうことだ？？
2022/01/18(火)16:41:14.27(gFDUEHdl.net)
46１３２人目の素数さん
ちゃんと手動かして論理を追わないから、こういう勘違いをするんだ
集合とその元の区別がついてないようなもの
2022/01/18(火)17:42:37.10(kHCwuqjl.net)
47１３２人目の素数さん
2022/01/18(火)18:07:26.75(IeliUhxm.net)
48１３２人目の素数さん
接線ってのは曲線の1点を無限大拡大した物だという風には
普通教えないんだけど何でかな
無限に拡大していくとドンドン接線になっていくってのは
むしろ分かりにくいんだろうか
まあ
高校性で曲線のアフィン変換
まともにできるやつはむしろ少ないから
仕方ないのかな
2022/01/18(火)18:28:09.69(zAAUfQDg.net)
49１３２人目の素数さん
それで現代解析学が古臭くて意味ない物だと思えるほどの効果がホントにない限りはそんな大改革しようと誰も思わない
今のところ無限小解析にそこまでやるだけの魅力がない
もちろん無限小解析学大好きな研究者もいるだろうからそういう人が現代解析学の主だったジャンルを全部無限小解析で書き換えた書物なりなんなり出てこないと候補にすら上がらん
2022/01/18(火)19:04:20.07(UcYWsuXo.net)
50１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/19(水)02:13:48.56(mvi9TvwE.net)
51１３２人目の素数さん
どういうこと？
2022/01/19(水)09:33:42.34(rCMG6JS1.net)
52１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)09:36:56.13(Cvmwu/OB.net)
53１３２人目の素数さん
？？
2022/01/19(水)11:37:22.78(DE18orp5.net)
54１３２人目の素数さん [sage]
リーマン和を知ってたら悩むこと全くあらへん
2022/01/19(水)12:22:28.23(OffnK24/.net)
55１３２人目の素数さん
などと言われて納得してしまう人は、危ういんだよな
2022/01/19(水)12:41:00.80(dBjJKquz.net)
56１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)12:46:28.25(Cvmwu/OB.net)
57１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)12:49:30.52(CYg7n069.net)
58１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)13:05:13.06(4DJdHieJ.net)
59１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)13:14:37.92(240Dwtwq.net)
60１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)13:18:06.52(u6GY4B5o.net)
61１３２人目の素数さん
「接線の傾き」の定義は？
2022/01/19(水)13:22:04.25(mxBSMxLp.net)
62１３２人目の素数さん
学問には向いていない性格
2022/01/19(水)14:12:11.74(mljQGauW.net)
63１３２人目の素数さん [sage]
可哀想に
2022/01/19(水)14:42:23.25(MzCkOFCt.net)
64１３２人目の素数さん [sage]
本来は記号を分けたほうがいいんだろうけど、面倒だからそのまま
放置されてて同じ記号を使うから混乱してしまう人が多いのだろう
微分係数dy/dxは分数じゃないから、微小量のdxを使って(dy/dx)dx=dy
などとやったりするのは間違いなんでないか
2022/01/19(水)15:50:01.21(xYM55Omt.net)
65１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)16:58:14.11(Cvmwu/OB.net)
66１３２人目の素数さん
微小量dxって何？
2022/01/19(水)17:08:06.28(dUWrKcaN.net)
67１３２人目の素数さん
説明なしで何dxとdyを切り離してんねん
結局解析が嫌いになってひたすら代数だけやって専門も代数
2022/01/19(水)17:21:11.91(vwURb90G.net)
68１３２人目の素数さん
微分形式使わないと説明できない可哀想な方にはまあ説明できないでしょうけど
2022/01/19(水)17:23:56.45(Cvmwu/OB.net)
69１３２人目の素数さん
全称と存在を省略したまんまクソ曖昧に命題を述べても気にならない異常者の集まり。
写像の始域と終域をちゃんと書かないのもくっそいらつく。
2022/01/19(水)17:31:04.64(vwURb90G.net)
70１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)17:31:34.19(Cvmwu/OB.net)
71１３２人目の素数さん
代数に関しては公理的集合論に立脚した定義全部書き下せるけど、解析に関する定義でそれをやることは多分不可能。
2022/01/19(水)17:37:30.61(vwURb90G.net)
72１３２人目の素数さん
∃x,y∈R ∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)に対して
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))
が成り立つとする時、fは(x,y)において全微分可能であるという。
ここで、B(0;r)⊂R^2は原点を中心とする半径rの開近傍を表す。
このとき、df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δyをfの全微分と呼ぶ。
↑が一番初等的な全微分の定義です。
∃とか∀とかちゃんと書きましたよ
わかりましたか？
2022/01/19(水)17:49:01.26(Cvmwu/OB.net)
73１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)17:51:08.39(Cvmwu/OB.net)
74１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)17:51:57.53(h0H/Iv3u.net)
75１３２人目の素数さん
何度言えばわかるんですか？
微分形式が念頭にある限り、微分が微分「商」と呼ばれたり、dy/dxというように分数使われてる理由は、不明、と思考停止するしかありません
ですが、これはあまりにも歴史的な流れを無視して形式にこだわりすぎていて、回答になっていません
2022/01/19(水)17:54:33.37(Cvmwu/OB.net)
76１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)17:55:35.32(Cvmwu/OB.net)
77１３２人目の素数さん
俺様解析学を他人に押し付けるな
2022/01/19(水)17:56:36.81(h0H/Iv3u.net)
78１３２人目の素数さん
なぜdy=y’dx、dy/dx=y’
このようにあたかも分数のように取り扱うことができるような記号体系になっているのか
ビブンケイシキガー、の人からは一切説明がないですね？
偶然の一致、以外に説明できるものならしてみてください？
2022/01/19(水)17:57:56.94(Cvmwu/OB.net)
79１３２人目の素数さん
微分形式は多様体上に定義された余接ベクトルバンドルのことです
それを知っているからこそ、微分形式はなぜdy/dxという割り算が使われるのかという疑問の答えにはなり得ないことを知っています
2022/01/19(水)17:58:58.64(Cvmwu/OB.net)
80１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/19(水)18:00:25.97(OMTdNZAG.net)
81１３２人目の素数さん
そんなレベルの話してませんがな
教科書といえば解析概論一本やり
それで微分形式の議論できるわけないやろ
アホ〜wwwwwwww
2022/01/19(水)18:01:38.40(h0H/Iv3u.net)
82１３２人目の素数さん
いやだから、>>72のどこが曖昧なんですか？
ビブンケイシキガーは批判するばかりで質問を棚上げするばかりですね？
>>81
文句があるなら質問に答えたらどうなんですか？
>>67さんに納得できるように説明してみてくださいよ
2022/01/19(水)18:03:57.93(Cvmwu/OB.net)
83１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:04:45.91(Cvmwu/OB.net)
84１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:05:17.49(h0H/Iv3u.net)
85１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:05:46.18(Cvmwu/OB.net)
86１３２人目の素数さん
∀f:R^2→R∀x,y∈R(
fは(x,y)において全微分可能
⟺
∃r ＞0 ∀(Δx,Δy)∈B(0;r)(f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2)) )
)
ちゃんと閉じた論理式として定義するにはfにも全称記号つけるべきだしxとｙは存在ではなく全称だと思う。
ちなみにこのレスは悪意で書いてるわけじゃない。
2022/01/19(水)18:06:38.31(vwURb90G.net)
87１３２人目の素数さん
↑ただこれだけの話なのになぜ認めないんでしょうね？
意味がわかりません
2022/01/19(水)18:07:05.08(Cvmwu/OB.net)
88１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:08:35.33(h0H/Iv3u.net)
89１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:09:06.02(Cvmwu/OB.net)
90１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:09:37.06(Cvmwu/OB.net)
91１３２人目の素数さん [sage]
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy+o(√(x^2+y^2))
この時点でまともでないとかはひとまず置いといて、解析概論の記述を無理やり
df(x,y,Δx,Δy)= X(x,y)Δx+Y(x,y)Δy
と解釈して解析概論は厳密だったと言い張るのが侮辱ってことね
2022/01/19(水)18:09:56.25(vbbXRh64.net)
92１３２人目の素数さん
わからないんですね
2022/01/19(水)18:10:23.43(Cvmwu/OB.net)
93１３２人目の素数さん
悔しくないから書きませーんwwww
2022/01/19(水)18:10:54.26(h0H/Iv3u.net)
94１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:11:25.48(Cvmwu/OB.net)
95１３２人目の素数さん
わかりませーんwww
2022/01/19(水)18:11:52.53(h0H/Iv3u.net)
96１３２人目の素数さん
わからないんですね
2022/01/19(水)18:13:18.78(Cvmwu/OB.net)
97１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/19(水)18:18:47.16(vbbXRh64.net)
98１３２人目の素数さん
わからないんですね
2022/01/19(水)18:19:33.85(Cvmwu/OB.net)
99１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:20:21.69(Cvmwu/OB.net)
100１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:21:29.05(Cvmwu/OB.net)
101１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/19(水)18:26:18.69(vbbXRh64.net)
102１３２人目の素数さん
わからないんですね
2022/01/19(水)18:28:49.51(Cvmwu/OB.net)
103１３２人目の素数さん
私はあなたの住所がわかりましたよ
2022/01/19(水)18:29:07.26(Cvmwu/OB.net)
104１３２人目の素数さん
数学板こっわ
2022/01/19(水)18:37:36.60(vwURb90G.net)
105１３２人目の素数さん
今から電話してもよろしいでしょうか？
2022/01/19(水)18:39:32.74(Cvmwu/OB.net)
106１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:40:20.81(vwURb90G.net)
107１３２人目の素数さん
家に行って慰めてあげましょうか？
2022/01/19(水)18:41:26.60(Cvmwu/OB.net)
108１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:43:08.42(vwURb90G.net)
109１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:43:53.94(Cvmwu/OB.net)
110１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:47:33.03(vwURb90G.net)
111１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)18:48:36.95(Cvmwu/OB.net)
112１３２人目の素数さん
かけてこられないということはわからないということです
11桁の数字を打ち込むことすらできない人が数学なんてできるわけないですよね？？
2022/01/19(水)18:54:10.29(vwURb90G.net)
113１３２人目の素数さん
って言い回しいいな。日常生活でも使ってくわ
2022/01/19(水)18:57:21.83(vwURb90G.net)
114１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)19:01:13.18(r/gDSOal.net)
11564 [sage]
>>66
微小量dxは、εδ論法でいうところの
δみたいなもので、比較的に小さな値を表す
dxでなくδxと書いて区別するべきと思う
微分係数dy/dxは分数ではなく一つの記号
(dy/dx)δx≒δyであってイコールではない
もしもdxとdyが無限小で、dy/dxを本当に
分数だと思えば、(dy/dx)dx=dyになるね
2022/01/19(水)19:57:24.45(xYM55Omt.net)
116１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)20:04:59.15(eQgcn7uD.net)
117１３２人目の素数さん
そもそもdxとかdxが何かなど議論する余地なんかないし
2022/01/19(水)20:09:58.06(h0H/Iv3u.net)
118１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)20:15:21.27(eQgcn7uD.net)
119１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)20:22:08.31(E7SQrG8F.net)
120１３２人目の素数さん [sage]
ﾌﾟｯﾋﾟ~!
2022/01/19(水)20:25:36.16(E7SQrG8F.net)
121１３２人目の素数さん
2022/01/19(水)22:00:26.27(cIZ5a1X6.net)
122１３２人目の素数さん
多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい
2022/01/20(木)11:27:31.31(Uhxw0Txt.net)
123１３２人目の素数さん
多様体上に定義される体積形式は一意に定まらないはずです
2022/01/20(木)13:01:43.50(CLOYcwNx.net)
124１３２人目の素数さん
ここら辺みてみると、どうやら体積形式を用いて一般の測度を再現することはどうやら一般には難しそうですね
2022/01/20(木)13:17:59.52(CLOYcwNx.net)
125１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)13:19:34.02(bi6aYMcM.net)
126１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)13:20:53.49(CLOYcwNx.net)
127１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)13:24:41.20(CLOYcwNx.net)
128１３２人目の素数さん
そんなことすら知らないような方が普段ビブンケイシキガーと言っているのは滑稽ですね(笑)
2022/01/20(木)13:34:07.19(CLOYcwNx.net)
129１３２人目の素数さん
こいつ最高にアホ
2022/01/20(木)13:56:59.63(h3C0V0Wq.net)
130１３２人目の素数さん
f → ∫_M fμ := ∫_M fω
だからまあ、測度を取り替えれば、ωも変わる
2022/01/20(木)14:13:25.77(ehNOa8n3.net)
131１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)14:14:22.53(CLOYcwNx.net)
132１３２人目の素数さん
各チャートR^n上の測度を取り替えたとき、M上の測度が定まるかどうか
は知らない
2022/01/20(木)14:16:04.31(ehNOa8n3.net)
133１３２人目の素数さん
後付って分からないのか・・・
2022/01/20(木)19:10:12.01(bi6aYMcM.net)
134１３２人目の素数さん
どういうこと？
2022/01/20(木)19:14:14.72(i6m0PUx+.net)
135１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)19:15:42.11(9MGcjgGZ.net)
136１３２人目の素数さん
ハイハイどもすみませｎ
2022/01/20(木)19:18:19.25(bi6aYMcM.net)
137１３２人目の素数さん [sage]
通常空間にたいして、それにぴったりひっついているような別の空間、例えば電場の空間とか磁場とか…
みたいなのを想定するみたいなカンジ？？
線形性を保持しているとかの性質があるような条件が必要で…
2022/01/20(木)21:33:29.66(RIDP7V6h.net)
138１３２人目の素数さん
＞双代空間
双対はそうたい(そうだい？)ではなく「そうつい」と読みます……簡単に言えば与えられた空間上の関数全体からなる空間です
電場や磁場のように「(物理的な)ベクトル場の作用している空間」ではなく、3次元空間に対してその線形関数全体のなすベクトル空間のことです
線形性を保持というのは意味がわかりませんが、ベクトル空間の双対空間はベクトル空間になるので、その上の線形写像を考えることはできますね
2022/01/20(木)21:56:10.35(xJXfm/Bp.net)
139１３２人目の素数さん
2022/01/20(木)23:49:11.46(iH9Wu1Ef.net)
140１３２人目の素数さん [sage]
たとえ話的に言うとベクトルに対する物差しみたいなのが双対ベクトル
双対ベクトルはベクトルを受け取ってそのベクトルに対してある種の量を返す
例えばベクトルのx成分を測ってくれる物差しは双対ベクトル
こういう物差し全体を双対空間(dual space)といってV^*とか表記する
(但し物差しで測られるベクトル全体(=ベクトル空間)をVとした)
物理的な例でいえば、一定の力Fとの内積<F,->は変位ベクトルrを測って力Fがした仕事Wがどれぐらいか教えてくれるので双対ベクトル
他にも一定の電場Eとの内積<E,->が変位ベクトルrに対して双対ベクトル(測定結果は電位差)だったり色んなところに出て来る
双対ベクトル(covector)の図示に関してはこれが分かりやすい
https://www.youtube.com/watch?v=LNoQ_Q5JQMY
2022/01/21(金)00:39:17.17(6tN2yX9s.net)
141１３２人目の素数さん
k上のVに対してV*=Hom(V,k)
2022/01/21(金)00:42:56.62(+HaI3rF6.net)
142１３２人目の素数さん
2022/01/21(金)00:44:23.60(+HaI3rF6.net)
143１３２人目の素数さん
2022/01/21(金)00:49:14.55(Xg1Nb4Vi.net)
144１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/21(金)01:02:25.67(F4x/y85F.net)
145１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/21(金)02:25:42.04(bMhMb28h.net)
146１３２人目の素数さん
ゴミ
2022/01/21(金)09:25:27.46(5KxroCc0.net)
147１３２人目の素数さん
あなたに必要なのは
思い込みを捨てること
歴代の数学者が連綿と紡いできた学問体系を
自身の瑣末な知識の類推と捉えないこと
数学を理解するには
一字一句丁寧に数学書を読むしかないんです
概念の定義を正確に理解する
具体例を計算する
証明の行間を補う
ある性質を示すために、何の定理を使ったのか
その仮定と結論は何か、本当に仮定の条件を満たしているのか
ある条件がいかに証明に用いられるのか、その条件を除いたら反例を作れるのか
………
そういったことを丹念にこなして初めて数学は理解できるのです
時には別の文献に当たらねばならぬこともあるでしょう
有名な本であっても致命的な誤植や誤りがあることもあるでしょう
しかし、それは普通のことです
学術書は、それらの障害を乗り越えられる人を対象に書かれています
学問とは
試験のための知識を詰め込むことでも、他人にひけらかすための知恵を身に付けることでもありません
その学問が研究している対象それ自体を理解し、その深い洞察を前提として、独自の観点・問題意識から対象を分析・再体系化することです
あなたには学問をするための心構えがまるで足りていません
いつまでも親鳥に餌を運んでもらう雛のように、受動的に教えを乞うています
2022/01/21(金)11:28:47.47(OiDYUFN1.net)
148１３２人目の素数さん [sage]
まず、微分可能とは、局所的に線型写像で近似できることであること、を確認する必要がある。
近似線型写像の定義域は、接ベクトル空間だろう。
実数値関数の近似線型写像は、接ベクトル空間を定義域とする実数値線型写像となる。
これは、接ベクトル空間の双対空間の要素（余接ベクトル）である。
接ベクトルは実体が解りにくいが、余接ベクトルは実数値関数の近似線型写像として実体を持つ。
で、次のように定義すればよい、
実数値関数の近似線型写像を余接ベクトルという、余接ベクトル全体は自然に加法とスカラー倍が定義出来る、これを余接ベクトル空間という。
代数多様体においても、類似の方法で、余接ベクトル空間を定義出来る（特異点以外）。
2022/01/21(金)15:16:48.08(2VuWN/fK.net)
149１３２人目の素数さん [sage]
上記で、余接ベクトルが微分形式である。
2022/01/21(金)15:35:28.40(2VuWN/fK.net)
150１３２人目の素数さん
なぜ、ごく初歩的な教科書を読めば、誤解の余地のない説明がされているものを
わざわざ自己流に言い直すんだ？
馬鹿なのか？
2022/01/21(金)15:47:15.95(fCN3shDz.net)
151１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/21(金)17:44:07.68(A4TW65KS.net)
152１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/21(金)17:47:31.61(ilK07ywZ.net)
153１３２人目の素数さん
それよりも読点多すぎて馬鹿っぽく見える
2022/01/21(金)18:29:15.75(ndFMSCWt.net)
154１３２人目の素数さん
χ_ℚをℚの特性関数として
∫_[0, 1] χ_ℚ(x) dx
は、どのように解釈するのですか？積分不可能？
2022/01/21(金)23:01:37.27(5KxroCc0.net)
155１３２人目の素数さん
2022/01/21(金)23:39:05.93(Xg1Nb4Vi.net)
156１３２人目の素数さん [sage]
そんな派閥ねえよ
2022/01/21(金)23:53:50.67(bMhMb28h.net)
157１３２人目の素数さん
誰が言い出したんだよ
2022/01/22(土)00:27:43.92(QB7P5WQ9.net)
158１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)03:48:13.42(vMSo+2Nd.net)
159１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)07:31:49.83(J1/WkiBO.net)
160１３２人目の素数さん [sage]
「済む」って何だよ
2022/01/22(土)08:05:19.41(rA+iqt4v.net)
161１３２人目の素数さん
そんな奴おらんよ？
2022/01/22(土)09:17:44.09(iWu+1cUG.net)
162１３２人目の素数さん
その人の懸念が何なのか不明確すぎて誰も答えられまいよ
2022/01/22(土)10:56:14.74(IwcYTa+Q.net)
163１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)12:24:22.53(UVCje5B3.net)
164１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)12:24:53.15(UVCje5B3.net)
165１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)12:27:00.57(UVCje5B3.net)
166１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)13:30:20.13(rjqBadwf.net)
167１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)14:47:06.23(ZAKe07xD.net)
168１３２人目の素数さん
開部分多様体を取るとコンパクトでなくなるから、各R^nの測度を取り替えたときまでは分からないな（分からないというか、議論の範囲外）
2022/01/22(土)14:51:18.22(x205BXVe.net)
169１３２人目の素数さん
積分をするときに使う1の分割の各サポートはコンパクトにできるから、同じ議論でいけるのでは？
2022/01/22(土)14:53:31.27(iD0HdcE9.net)
170１３２人目の素数さん
って話
2022/01/22(土)15:01:30.13(kmtUzQci.net)
171１３２人目の素数さん
重積分の変数変換公式はその特別な場合
2022/01/22(土)15:07:31.61(EvvVK1vl.net)
172１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)15:44:18.95(gukP0VNl.net)
173１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)15:47:14.39(gukP0VNl.net)
174１３２人目の素数さん
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure
たとえば
D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≦ 1}
として
x = r cosθ
y = r sinθ
と変数変換したときの
∫ _D dxdy = ∫_[0, 1]×[0, 2π] rdrdθ
では、どうなってるん？
2022/01/22(土)16:16:45.93(rSXcab0w.net)
175１３２人目の素数さん
dy = sinθdr + rcosθdθ
dx∧dy
= ( cosθdr - rsinθdθ ) ∧ ( sinθdr + rcosθdθ )
= - rsinθdθ ∧ sinθdr + cosθdr ∧ rcosθdθ
= - rsinθsinθdθ∧dr + rcosθcosθdr∧dθ
= rsinθsinθdr∧dθ + rcosθcosθdr∧dθ
= rdr∧dθ
wikipediaで勉強するとかあり得ん
2022/01/22(土)16:32:58.26(+B+HT00f.net)
176１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)16:34:02.42(IwcYTa+Q.net)
177１３２人目の素数さん
こいつは馬鹿なのか
2022/01/22(土)16:36:39.79(mFLKbH+b.net)
178１３２人目の素数さん
それは>>58への回答であって>>122の意味不明な懸念
>多様体上の積分における変数変換公式は、外微分と外積代数の性質から来ていて、それが上手いこと重積分の変数変換公式と整合している
>もし、R^nの測度としてLebesgue測度以外をとったら、微分形式側の定義や操作を修正しなくて済むのかどうか知りたい
への回答では無い
2022/01/22(土)16:37:08.72(IwcYTa+Q.net)
179１３２人目の素数さん
意味わからないのはお前の頭が悪いからだよ
2022/01/22(土)16:37:47.65(mFLKbH+b.net)
180１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)16:37:52.82(IwcYTa+Q.net)
181１３２人目の素数さん
話の流れを理解できていないのはお前
2022/01/22(土)16:40:38.44(mFLKbH+b.net)
182１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)16:41:42.26(IwcYTa+Q.net)
183１３２人目の素数さん
それはどうして？
2022/01/22(土)16:43:41.75(Njw87jxp.net)
184１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)16:51:03.95(fsCyphlD.net)
185１３２人目の素数さん
積分の変数変換になるからだよ
だから理由も何も
定義そのものと言えるアホらしい状況
2022/01/22(土)17:08:49.83(IwcYTa+Q.net)
186１３２人目の素数さん
ｋｗｓｋ
2022/01/22(土)17:18:11.38(twNHdfr4.net)
187１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)17:28:04.90(05rIUjyz.net)
188１３２人目の素数さん
何度もすみません。
普通の微分積分の教科書で、変数変換公式の証明を「定義そのもの」で済ませているものは無いと思います。
たしかに微分積分の教科書はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったところで自明になるようなものでは無いと思います。
私の認識不足でしたらすみませんが、そういう議論をしている教科書があれば教えて下さい。お願いします
2022/01/22(土)18:13:20.93(05rIUjyz.net)
189１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)18:50:31.14(WVP6yMrM.net)
190１３２人目の素数さん [sage]
…戸締り首都高…
2022/01/22(土)18:51:57.07(WVP6yMrM.net)
191１３２人目の素数さん [sage]
ｺﾚｶﾞﾜｶﾗﾅｨ…
…難問ゃな…
。◯
゜
2022/01/22(土)18:56:43.35(WVP6yMrM.net)
192１３２人目の素数さん
これよくわからないんですけど、変数変換と関係あるんですか？
ないと思うんですけどどうなんでしょう？
測度空間(X1,Σ1,μ)を用いて、測度が未定義の可測空間(X2,Σ2)の測度f*μを新たに定義するという話ですよね？
変数変換の場合、どちらの空間にも測度は既に定義済みだと思います
にしても、ビブンケイシキガーは本当役に立ちませんね
グダグダ文句垂れてできることといえば脳死で変数変換の記号いじりだけじゃないですか
2022/01/22(土)19:09:55.27(1E9gPKAd.net)
193１３２人目の素数さん
お調べいただいている最中でしたらすみません。
何度もすみませんが、積分の変数変換にJacobi行列式が出てくることは、Lebesgue測度に限っても、全く自明なことではないと思います。
実際、微分積分の教科書では、変数変換公式を一般の場合に証明するのに多くのページを費やしています。学部1-2年でやる微分積分はRiemann積分ですが、Lebesgue積分になったからと言って、変数変換公式が自明になるとは思えません。
私が寡聞にして存じないだけでしたらすみませんが、そのような議論をしている文献があれば教えて下さい。
2022/01/22(土)19:27:49.22(S8j7c3Fh.net)
194１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)19:29:23.27(iWu+1cUG.net)
195１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)19:35:23.08(iWu+1cUG.net)
196１３２人目の素数さん
•X(R,Σ,μ)を測度空間とする。
R:実数
Σ:ボレル集合
μ: μ(E)=μ_L{x∈E| 0≦x≦1}、E∈Σ
ここで、μ_Lは通常のルベーグ測度
f:X→X、f(x)=x+1を考える
C=[0,1]⊂Xとすると、f(C)=[1,2]⊂X
このとき
∫_C dx=1、∫_f(C) dx=0
fのヤコビアンは1ですが、積分の値は一致していません
2022/01/22(土)19:35:25.83(J1/WkiBO.net)
197１３２人目の素数さん
なるほど
2022/01/22(土)19:39:34.33(S8j7c3Fh.net)
198１３２人目の素数さん
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E6%B8%AC%E5%BA%A6
δ_x(A) := 1 if x∈A, 0 otherwise
を考えても、変数変換公式成り立たない例を作れますね！
2022/01/22(土)19:47:13.53(S8j7c3Fh.net)
199１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)20:01:37.81(HqLLFG7c.net)
200１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)20:05:15.43(IwcYTa+Q.net)
201１３２人目の素数さん
関数φ(x)が与えられたときBorel可測集合上の測度μ(φ:X)を
μ( φ; (a,b) ) = f(b-0) - f(a+0)
μ( φ; {a} ) = f(a+0) - f(a-0)
で定めることができる
そしてこの測度による積分を∫f(x)dφ(x) などと書く場合がある
この場合のφは別に微分可能でなくても良いし、なんなら連続ですらなくてもよい、(むしろ連続でない場合にこそ真骨頂がある)
しかし可微分である場合には
∫f(x)dφ(x) = ∫f(x)φ'(x)dx
とかが成り立ったりしてる
もちろんこの意味でのdφの解釈は大切だし数学科卒なら絶対理解してないとだめなやつではあるんだけどな
しかし微分形式という解釈を押しのけて第一義的にこれとまでは言えないやろな
2022/01/22(土)20:05:16.42(+B+HT00f.net)
202１３２人目の素数さん
よくわからないんですけど、その測度の変換が常にヤコビアンになっているという主張なのではないですか？
2022/01/22(土)20:10:20.08(J1/WkiBO.net)
203１３２人目の素数さん
すみませんが、文献を示していただけないでしょうか？
2022/01/22(土)20:19:47.61(S8j7c3Fh.net)
204１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)20:27:22.31(ULI7COT+.net)
205１３２人目の素数さん
極座標の例では
f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね？X=Y=R^2
その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です
μ_Y(f(D))=r*μ_X(D)
μ_X、μ_YはX,Yの測度
>>196の例では
f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています
X=Y=[>>196における(R,Σ,μ)]
もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば
μ_Y(f(C))=0∝μ_X(C)=1となるはずです
しかしそうではないということは、通常の常識は通用していないということですよね？
2022/01/22(土)20:32:14.81(J1/WkiBO.net)
206１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)20:58:18.00(J1/WkiBO.net)
207１３２人目の素数さん
Mは1次元多様体
p∈M
(U, φ)は、pを含む座標近傍Uで、U〜R、φ(p) = 0となるもの。
ω∈Ω^1(M)、ωはU上でf(x)dx、M＼U上では0と表せるとする。fはなめらかな関数で、f(0)≠0とする。
Rの測度として、>>198のδ_0を取った場合を考える。
∫_M ω = ∫_R f(x)dx = ∫_R f(x)dδ_0 = f(0)
(V, ψ)は、pを含む別の開近傍で、V〜R、ψ(p) = 0。
V上でωはg(y)dy、M＼V上では0と表されるとする。このとき、
∫_M ω = ∫_R g(y)dy = ∫_R g(y)dδ_0 = g(0)
よって、f(0) = g(0)。
U∩V上では、ψ○φ^(-1)(x) = 2xと表されるとする。
このとき、
∫_R g(y)dy = ∫_R g(2x) 2dx = 2g(0) ≠ g(0)（矛盾）
なるほど
2022/01/22(土)21:12:02.74(kqlGdb+O.net)
208１３２人目の素数さん
物理の人とかはdxdyとかを微小体積としてヤコビアン出してるわけです
そうできるのは、dxを微小量として考えているからであって、微小変化量というのは明らかにルベーグ測度の考え方です
2022/01/22(土)21:12:49.47(J1/WkiBO.net)
209１３２人目の素数さん
・Lebesgue測度とはたまたま一致する
ことが示されたのでは？
2022/01/22(土)21:20:24.63(jyfGByJ+.net)
210１３２人目の素数さん
@ Lebesgue測度では、微小変化量の2次以降の部分は消える
A その構造をたまたま代数的に実現できる道具があったので、それを微分形式の定義にした
のでは？やはり微小変化量が本質。余接ベクトル場は方便
2022/01/22(土)21:25:52.12(ZBzIPk+2.net)
211１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)21:26:33.56(S8j7c3Fh.net)
212１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/22(土)21:28:35.43(vMSo+2Nd.net)
213１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)21:33:59.84(iWu+1cUG.net)
214１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)21:38:52.10(J2mj5aKy.net)
215１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)21:39:27.90(J1/WkiBO.net)
216１３２人目の素数さん [sag]
しない測度は排除されるべきなのだよ
2022/01/22(土)21:44:57.45(iWu+1cUG.net)
217１３２人目の素数さん [sage]
ルベーグ測度に対応する体積要素が dx
他の測度は別の体積要素になる
ディラック測度のような測度はカレントの理論が必要
2022/01/22(土)22:08:41.08(HqLLFG7c.net)
218１３２人目の素数さん
座標変換を変えることによって、Lebesgue測度以外の測度に対しても、微分形式のように振る舞うベクトル束を構成できる？
2022/01/22(土)22:12:09.88(9Xp9ZnRc.net)
219１３２人目の素数さん
φ_V○φ_U^(-1) =: φ_VUなどと書くことにして、
座標変換fに伴うJacobianに相当するものを∂fなどと書くことにすると
U∩V∩W上で、
∂φ_UW ∂φ_WV ∂φ_VU = 1
みたいな条件が必要になると思うけど
2022/01/22(土)22:18:15.78(9Xp9ZnRc.net)
220１３２人目の素数さん
前半はそうじゃないと思いますよ
ある体積要素でのあるサイクルの積分が実際のサイクルのルベーグ測度と一致するかどうかとは無関係に、微分形式である限り変数変換すればヤコビアン出てきちゃいますよね？
変数変換でヤコビアンが出るという性質は、測度に依存したものであることが先ほど示されたので、やはり微分形式と積分を両立させるには測度に依存した議論が必要になると思います
>>218
何を言ってるのかわかりません
座標変換を変えるってなんですか？
で変えるとなにがどう微分形式のようなベクトル束ができると言ってるのでしょうか
2022/01/22(土)22:18:32.87(J1/WkiBO.net)
221１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)22:20:40.62(9Xp9ZnRc.net)
222１３２人目の素数さん
n次元多様体Mに対して、次数付けられたベクトル空間
Ω(M) = Ω^0(M)⊕...⊕Ω^n(M)
と、線形写像d: Ω^k(M) →Ω^(k+1)(M)が存在。
A
多様体の射f: M → Nに対して、引き戻しf*: Ω(N)→Ω(M)が存在
B
座標近傍(U, φ)上で、k次の成分がf(x)dxみたいに書けて、別の座標近傍(V, ψ)とそこでの表示g(y)dyを取ると、nCk次行列T(y)があって
f(x)dx = T(y) g(y)dy
をみたす（k = 0, 1, ..., n）
微分形式の場合は、dは外微分で、TはJacobi行列（から作られる行列）だったわけだが
dとTを適切に選べば、ルベーグ測度以外でも多様体上の積分と同じ理論を作れるか？
とりあえずは、Stokesの定理を成り立たせるのが目標
2022/01/22(土)22:32:40.23(9Xp9ZnRc.net)
223１３２人目の素数さん
だから
d○d = 0
も要求
2022/01/22(土)22:42:52.53(9Xp9ZnRc.net)
224１３２人目の素数さん
R上のディラック測度δ_0を考えます
y=x+1として
1=∫[-1/2,1/2]dx≠∫[1/2,3/2]f(y)dy=0
fとしてなにを選んでもこうなってしまうので、少なくとも、Ω^1(M)の元dxをそのまま積分記号と解釈することは難しいのではないかと思います
2022/01/22(土)22:53:34.52(J1/WkiBO.net)
225１３２人目の素数さん
よくよく考えたらこれでいい気がしてきました
>>224の場合は、通常の測度と微分形式を用いて、ディラックのδ関数使って
1=∫[-1/2,1/2]δ(x)dx=∫[1/2,3/2]δ(y-1)dy=1
これでいいですもんね
δ関数の正当性とか考え始めるとカレントが必要ってことなのでしょう
であと問題になるのは、任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのかってところですけどそこらへんはどうなんでしょうか
2022/01/22(土)23:20:34.91(J1/WkiBO.net)
226１３２人目の素数さん
私なんか勘違いしてましたけど、多様体の測度と、チャートで映されたユークリッド空間の測度は別にしないといけないんですね
多様体上に変な測度を考えるときは、ルベーグ測度を用いたユークリッド空間上で非自明な体積形式を考えてそれに関するルベーグ測度を用いた積分を行えば良い
ですが、この方法で全ての多様体上の測度を尽くせるかはよくわからないと
2022/01/22(土)23:29:45.51(J1/WkiBO.net)
227１３２人目の素数さん
Ω^0 = M上の関数
Ω^1 = M上の関数を係数としてdx, dyで張られる
Ω^2 = M上の関数dxdyで張られる
とすればよいのでは。
で、別のdx', dy'をとったときに
dx = A(x', y')dx' + B(x', y')dy'
dy = C(x', y')dx' + D(x', y')dy'
dxdy = E(x', y')dx'dy'
という座標変換が必要。
普通の微分形式の場合は、A, B, C, D, Eはヤコビ行列から決まった。
今回は、与えられた測度での積分の座標変換と整合するように定める。
あとは、ストークスやドラームを外微分dを適切に定義する必要がある。
2022/01/22(土)23:32:33.35(PurIzGqx.net)
228１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)23:37:53.42(S8j7c3Fh.net)
229１３２人目の素数さん
R, R^2, ..., R^n
すべてに何らかの意味で一貫した測度が入ってなきゃいかんね
2022/01/22(土)23:41:22.74(eorRLiVQ.net)
230１３２人目の素数さん
2022/01/22(土)23:51:22.33(S8j7c3Fh.net)
231１３２人目の素数さん
しかし理系の人間が話し合って、例えば何を最初に教えるかという議論をするなら話違ってくる
もちろんその場合は微分形式一択やろ
これだけ現代数学、現代物理学を学んでいく上で避けて通れない概念も中々ない
まず微分形式と解釈した場合の主だった定理や公式を理解した上で、その上でイヤイヤこんな解釈もあると進のはいいやろけど
そんな事考えるのはまず学部の数学一通り全部理解した後の話だよ
2022/01/22(土)23:57:16.57(YwPImppC.net)
232１３２人目の素数さん
δ_a×δ_bは、
(a, b)を含むなら1、含まないなら0？
第一成分への射影がaを含む or 第二成分への射影がbを含むなら1、そうでなければ0？
2022/01/23(日)00:01:43.68(t62VOHED.net)
233１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)00:05:07.84(+7a+OQ6M.net)
234１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)00:05:15.16(+7a+OQ6M.net)
235１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)00:11:37.91(+7a+OQ6M.net)
236１３２人目の素数さん
そうはならない
x,yそれぞれに測度を勝手に導入して
微分形式だけ変換しても一致するわけないだろ
測度とは長さ面積体積などの計量の一般化なのだから
それらが対応するように変換しなければ
そもそも積分の変数変換とは呼ばないのだよ
そんなの当たり前のことだ
ディラック測度δ_0はディラックのδ関数と微分形式によって
dδ_0(x)=δ(x)dxと解釈することはできる
x=2yとするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(2y)d(2y)=(1/2)δ(y)2dy=δ(y)dy=dδ_0(y)
よって
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(2y)dδ_0(y)=f(0)
x=y-1とするなら
dδ_0(x)=δ(x)dx=δ(y-1)d(y-1)=δ(y-1)dy=dδ_1(y)
f(0)=∫_Rf(x)dδ_0(x)=∫_Rf(y-1)dδ_1(y)=f(0)
そもそも
変数変換で値が変わらないように測度が対応するからこそ積分の変数変換と呼ばれるのだよ
x=gIy)という変数の対応でdx=g'(y)dyなのだから
これで積分が変わらないように測度が対応するのが理の当然
2022/01/23(日)07:52:23.12(7bYC0zD4.net)
237１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:01:43.75(CTuxYQFj.net)
238１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:04:15.78(7bYC0zD4.net)
239１３２人目の素数さん [sage]
それはどの本に書いてある？
2022/01/23(日)08:06:30.88(RG3eK+cf.net)
240１３２人目の素数さん [sage]
消えろ
2022/01/23(日)08:07:49.14(w3gTR0DZ.net)
241１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/23(日)08:19:57.48(w3gTR0DZ.net)
242１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:35:53.88(7bYC0zD4.net)
243１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:43:43.43(QtY3jn7V.net)
244１３２人目の素数さん
>任意の測度を微分形式の言葉に書き直せるのか
できるように書くことはできる
ディラックのδ関数がまさにそれ
F(D,f(x))=∫_Df(x)dF=∫_Df(x)F'dx
みたいに書くだけ
2022/01/23(日)08:47:05.37(7bYC0zD4.net)
245１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:49:23.26(7bYC0zD4.net)
246１３２人目の素数さん
自分が会話できてない自覚ある？
2022/01/23(日)08:50:15.49(OK3EArEI.net)
247１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)08:53:09.65(tazSePYK.net)
248１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)09:01:27.36(tazSePYK.net)
249１３２人目の素数さん
「変数変換で積分値が変わる」
なんて言っとらんがな
2022/01/23(日)09:08:59.36(+7a+OQ6M.net)
250１３２人目の素数さん
2022/01/23(日)09:21:43.32(7bYC0zD4.net)
251１３２人目の素数さん
わかったから、もう書き込まないでね
2022/01/23(日)09:24:15.91(94fRbQFD.net)
252１３２人目の素数さん
必要なら書き込むしそうでなければ書き込まないというだけ
当たり前の理の当然でしょ？
2022/01/23(日)09:25:20.35(7bYC0zD4.net)
253１３２人目の素数さん [sage]
よほど悔しかったようだなｗ
2022/01/23(日)09:55:09.05(gLQNC7ek.net)
254１３２人目の素数さん [sage]
０ ♪ｼﾂﾓﾝｯﾁｬﾏ!新ｽｨｨ彼ﾋﾟｯﾋﾟ
)ﾉ゛相性知ﾘﾀｨｶﾗ…
) 2人の14星座…
b 教ｪﾃｸﾗﾊｨ♪ｸﾗﾊｨ♪♪
| (>>241)ノ゛ｩﾗﾅｨ!ﾅｨﾅｨ!!
Σ０ ( ) ｸﾀﾞﾗﾅｨ!!!
( )
( )!
! !Σ◇゛
０♯
( )ﾉ゛ 当ﾀｯﾃﾙｶﾗ!
( )
! ! □
2022/01/23(日)11:09:23.39(gsVb7mxT.net)
255１３２人目の素数さん [sage]
(`∆´#) 先生ﾆ言ｨｯｹﾃｬﾙ!
(ﾉ□٩)♯
Ω
…ﾃﾞ、占ｨ嫌ｨﾅ>>241ｯﾁｬﾏゎ、
♐射手座ｶﾅﾆｶﾅﾉ?
ｯﾃ…教ｪﾃｸﾚﾃﾓｺｯﾁゎ♯
教ｪﾃｬﾗﾈｪｶﾗﾅｧ? ＃
０＃
(`△´#) ｨｷﾅﾘdisｶｮ?
（ﾉ◇٩) 数板ﾗｼｨｾﾞ!
√
2022/01/23(日)11:26:56.49(7P24zMv4.net)
256１３２人目の素数さん [sage]
|=3
2022/01/23(日)11:28:30.68(7P24zMv4.net)
257１３２人目の素数さん
取れるなら一通りしかないのは明らかだが、取れるのかな？
φ: V → Uで変数変換したときに
∫_U f(x)dx = ∫_V f(φ(y))ψ(y)dy
の形のψ(y)が存在するかどうか？
2022/01/23(日)12:16:33.43(rPlioHHK.net)
258１３２人目の素数さん
を内積<f, ψ>のように考えて、リースの表現定理（ https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）などを使って示すことになると思う
だから、fにも自乗可積分などの条件を課すことが必要そう（MがコンパクトならOK？）
2022/01/23(日)12:22:14.21(Beuf2hsZ.net)
259１３２人目の素数さん [sage]
微分形式を考えるのは、積分のためではない。
だから代数多様体でも余接ベクトル空間を考えるのが役に立つ。
積分との関係は、ルベーグ積分のときのみうまくいき、ルベーグ測度以外ではうまく行かないのはあなたの言うとおり。
2022/01/23(日)15:57:37.00(i1idL9ha.net)
260１３２人目の素数さん [sage]
積分のための微分形式ではない
微分形式のための積分なのだ
2022/01/24(月)10:46:23.70(z3cHUaF6.net)
261１３２人目の素数さん
2022/01/24(月)12:31:08.05(TkvF+Grc.net)
262１３２人目の素数さん
2022/01/24(月)13:44:09.69(QCq7ihs1.net)
263１３２人目の素数さん [sage]
やっと沈静化した？
2022/01/24(月)14:24:14.56(4SSpBRxh.net)
264１３２人目の素数さん
そりゃそうだろ
2022/01/24(月)14:47:14.33(yrZ8gMKs.net)
265１３２人目の素数さん
2022/01/24(月)14:50:18.73(RjGpGDAR.net)
266１３２人目の素数さん [sage]
似たり寄ったりでしょ
2022/01/24(月)16:30:29.92(4SSpBRxh.net)
267１３２人目の素数さん [sage]
2022/01/25(火)16:32:10.72(QsDvNn76.net)
268１３２人目の素数さん [sage]
∫_ねぎ green onion = ∫_玉ねぎ onion
2022/01/25(火)20:30:29.30(dkH9fU//.net)
269１３２人目の素数さん [sage]
わからない
2022/01/25(火)21:26:24.86(uLUOKdsi.net)
270１３２人目の素数さん [sage]
(d/dx)は、いわゆる『導分』である
2022/01/25(火)22:03:26.90(QsDvNn76.net)
271１３２人目の素数さん
2022/01/27(木)23:48:04.93(I2FzVPYe.net)
272１３２人目の素数さん [sage]
可微分多様体では、微分形式は、ドラームコホモロジーの定義で必要となる。
2022/01/28(金)12:10:48.04(urTAE4W7.net)
273１３２人目の素数さん [sage]
単に〈ω,D〉という内積みたいなもの
測度論は測度論であって数学ではない
応用集合論の一種だと思ってればいい
ルベーグ積分とか、それを必要とする
特殊な人間以外はやらなくてよいし
2022/02/02(水)11:38:38.64(w4zJIEf1.net)
274１３２人目の素数さん [sage]
お前ルベーグ積分を知らないだろ。
積分を使う者にとって、ルベーグ積分の各種定理は非常にありがたい定理だろ。
測度論をやるのは、積分を使う者には無意味と思うよ。
だから、コンパクトサポートの連続関数の積分を拡張するというやり方で、ルベーグ積分を定義すれば良い。
2022/02/02(水)19:18:46.80(hHNr3y9c.net)
275１３２人目の素数さん
2022/02/02(水)20:12:53.79(eyBYZhtb.net)
276１３２人目の素数さん [sage]
ルベーグ測度は一種のハール測度だからな
ハール測度はつねに存在し本質的にひとつ
2022/02/08(火)10:24:13.58(bpmt6fe7.net)
277１３２人目の素数さん [sage]
「一種の」とはどういう意味なんだ？
2022/02/09(水)15:21:37.12(2V0NF7bz.net)
278１３２人目の素数さん [sage]
ハール測度はもっと一般の位相群の場合として
2022/02/09(水)15:30:47.39(Vc4NhJ9s.net)
279１３２人目の素数さん [sage]
2022/02/15(火)21:59:53.58(ODbRnHMH.net)
280１３２人目の素数さん [sage]
うん。
俺は全くの独学で一般相対論に挑戦したもんだから
dxやdyをバンバン使った定理の導出がしっくりいかなかった。
それらを微小な物理量をとして使いまくってるし。
微分形式つう考え方を昨日知って、かなり納得した。
ほかのスレを読むとらさらにいろいろあるんだな。
こりゃまだまだ勉強のしがいがあるね。
2022/02/15(火)22:12:29.61(ODbRnHMH.net)
281１３２人目の素数さん [sage]
2022/04/29(金)20:09:31.76(wkSbS1nf.net)
282１３２人目の素数さん
2022/06/30(木)23:57:29.61(GkjSVMZ0.net)
283１３２人目の素数さん [sage]
無限小解析がいいよ
2022/07/04(月)01:12:33.28(n7SpNwyl.net)
284１３２人目の素数さん [sage]
それは数学界の極秘事項
2022/07/04(月)16:45:45.37(USvPXeOe.net)
285１３２人目の素数さん [sage]
おもろいやないか
2022/09/26(月)21:44:52.84(R9NWmhPe.net)
286１３２人目の素数さん
2022/12/11(日)09:16:23.63(9TtA0IG0.net)
287１３２人目の素数さん
dx,dyは無限小と見てもいいし、
線形写像と捉えてもいい。
集合論や圏論などを用いて基礎づけられ、
合理的考えることができればそれで良い。
定めたルールから逸脱しなければ良いのだ。
2022/12/11(日)12:39:09.24(/dTeH2uI.net)
288１３２人目の素数さん
∂x ∂y=dx+dy
∂^2 xy=dx+dy
2022/12/12(月)04:34:17.58(dmeLN5eH.net)
289🍎
∂x∂y=dx+dy
∂^2ζ2)xy=dζ(1)x+dζ(1)y
∂^2ζ(2)=(dx+dy)/xy
∂^2π^2/6=(dx+dy)/xy
∂^2π^2=6(dx+dy)/xy
xy∂^2=6(dx+dy)π^-2
🍎algebra
Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞
±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
-1/12⇔=0=⇔π^2/6
-1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal
2022/12/12(月)05:21:10.30(dmeLN5eH.net)
290１３２人目の素数さん
2022/12/12(月)05:36:41.63(dmeLN5eH.net)
291１３２人目の素数さん
2022/12/12(月)05:54:09.66(dmeLN5eH.net)
292１３２人目の素数さん [sage]
無限小とか数学に必要なのか？
2022/12/12(月)11:06:12.30(oxlRdJ6N.net)
293１３２人目の素数さん
そこから適当な測度がえられる
2022/12/20(火)17:02:18.39(a7AHPdMN.net)
294１３２人目の素数さん
2022/12/21(水)22:52:47.74(F669Iarw.net)
295１３２人目の素数さん
2023/01/13(金)16:18:24.75(Pr3tqnRJ.net)
296１３２人目の素数さん [sage]
2023/01/13(金)16:39:31.96(D/S7f5ap.net)
297１３２人目の素数さん [sage]
2023/01/14(土)01:31:30.75(J99W+3QX.net)
298１３２人目の素数さん
2023/01/16(月)08:02:52.69(iEsfLPd1.net)
299１３２人目の素数さん
2023/01/16(月)09:08:14.57(ue0ApBx5.net)
300１３２人目の素数さん [sage]
2023/01/16(月)12:41:05.47(mYs+Wp8o.net)
301１３２人目の素数さん [sage]
2023/01/16(月)12:53:56.77(5bd9czvi.net)
302１３２人目の素数さん
2023/02/10(金)13:10:01.26(v6PqqzlY.net)
303１３２人目の素数さん [sag]
2023/02/11(土)11:47:39.94(4f3XkX57.net)
304１３２人目の素数さん
2023/02/11(土)18:01:36.69(B7JZOjgm.net)
305１３２人目の素数さん [sage]
2023/02/11(土)23:00:09.81(K+Jn3Enw.net)
306１３２人目の素数さん
無限小って何？
2023/02/11(土)23:56:29.67(sOTptasN.net)
307１３２人目の素数さん [age]
そうすると、無限小にも階層がある？
2023/02/12(日)16:32:12.75(FPUOrXsh.net)
308１３２人目の素数さん [sage]
2023/02/12(日)16:36:47.61(o7KCAVBI.net)
309１３２人目の素数さん
1molでは微小量というには多すぎるし。もっとも1原子・分子当たりの変化は感知不能なレベルかもしれん。
生物変化数としてのdxは、人口76億人の1人分の変化・影響は微分量とみなせる、という感じかな。
親族にとっては1人の死は一大事だが世界全体への影響は微分相当量なわけで。
2023/02/22(水)15:39:37.63(W6IgbPRq.net)
310１３２人目の素数さん
SI単位というような概念はないよ。
単位があると数学にならない。
2023/02/22(水)20:56:28.06(KzlbtelM.net)
311１３２人目の素数さん
2023/02/23(木)14:06:20.83(HgHyouCY.net)
312１３２人目の素数さん
2023/02/23(木)14:08:54.22(HgHyouCY.net)
313１３２人目の素数さん [sag]
それに応じてその逆数を考えることにして
無限小にもいろいろあることにすればいい？
2023/02/23(木)14:16:41.82(P6HEah/M.net)
314１３２人目の素数さん
-----
dx
分子分母の共通のｄを約分すると y/x という間違い。
2023/02/23(木)20:46:36.01(MCBQbs8j.net)
315１３２人目の素数さん [sage]
巨大数nがいくら大きかろうとnはただの自然数だし、1/nもただの有理数だよ
2023/02/24(金)08:53:09.12(l4zWD7eQ.net)
316１３２人目の素数さん [sage]
2023/02/24(金)13:00:15.44(2O882XG7.net)
317１３２人目の素数さん [sage]
2023/02/24(金)23:02:36.32(uWTxQkIJ.net)
318１３２人目の素数さん
単位を1のことだと思ったのか。
そういう誤解がないように、
わざわざSI単位という言い方をしたのだが。
m, kg, sなんて数学書には出てこないだろう。
物理単位なしでその概念を基礎付けるのが数学。
2023/02/25(土)11:51:47.12(8Sc9oRE7.net)
319１３２人目の素数さん [sage]
2023/02/26(日)09:33:46.16(oixAbryR.net)
320１３２人目の素数さん
物理学でも高度な数学や最先端の数学を用いるよ。
それは当たり前でしょう。
また物理学では物理単位がないと意味がないのに
対して、数学では物理単位は普通いらないよ。
実際、数学書には物理単位は
書かれていないでしょう。
超関数関係の数学書も物理単位はないよね。
例として単位をつけた例題があることもあるけど、
それは本質ではないでしょう。
数学では物理単位は関係ないんだよ。
2023/02/26(日)12:10:36.70(3azyx7oE.net)
321１３２人目の素数さん
100mのす水平直線は地球の丸みの影響で0.8mmのずれが生じる。100mの直線加速器は
この補正が必要。しかしオリンピック100m走トラックは、高低差10cm以内が公差・長さは1/1万
なので加速器のような超精密機でない限り100ｍ直線は地球の丸み影響考慮ほとんど不要。
戸建住宅（長くて10m四方）の直線・正方形・立方体等は微積分的なdx・dS・dVと見ていいだろう。
ガウス発散定理とかも直線・直平面近似は。球体を地球サイズとして考えたらイメージしやすい。
2023/02/26(日)13:28:09.09(HoTSRodm.net)
322１３２人目の素数さん [sage]
2023/03/07(火)10:12:02.13(8UxA2Qix.net)
323１３２人目の素数さん
得体のしれないところから
せりあがってくるように書かれた
微分形式のtextはありますか
2023/03/26(日)14:08:11.75(g1ji05BT.net)
324１３２人目の素数さん
物理学や工学で教えているような、
0でない微小量というのが一番いい。
歴史的にはこのような直感で理解していたのだ。
数学的にはこれでは意味不明だからダメだが、
応用上、この理解で問題になることはまずない。
2023/03/26(日)20:28:55.67(kFq1RADe.net)
325１３２人目の素数さん [sage]
エタールに海水面位上昇する時に付くウォーターマークの縞々状に理解してます。
2023/03/26(日)21:06:19.57(QlOmuViw.net)
326１３２人目の素数さん [sage]
コホモロジーが応用上使われてないとでも思ってんのかよ
2023/03/26(日)22:10:10.62(QuN4KKVj.net)
327１３２人目の素数さん
2023/03/26(日)23:30:28.60(4rwJ8TsP.net)
328１３２人目の素数さん
>>使っている企業はない。
最近有名なのはこれ↓
Persistent cohomology for data with multicomponent heterogeneous information
Zixuan Cang, Guo-Wei Wei
Persistent homology is a powerful tool for characterizing the topology of a data set at various geometric scales. When applied to the description of molecular structures, persistent homology can capture the multiscale geometric features and reveal certain interaction patterns in terms of topological invariants. However, in addition to the geometric information, there is a wide variety of non-geometric information of molecular structures, such as element types, atomic partial charges, atomic pairwise interactions, and electrostatic potential function, that is not described by persistent homology.
以下省略
Cite as: arXiv:1807.11120 [q-bio.QM]
(or arXiv:1807.11120v1 [q-bio.QM] for this version)
https://doi.org/10.48550/arXiv.1807.11120
2023/03/27(月)09:51:43.12(kkQN8nHd.net)
329１３２人目の素数さん [sage]
2023/03/27(月)12:36:52.53(w+dEk0Yg.net)
330１３２人目の素数さん [sage]
本質的理解から目をそむけ、利用できるかって面だけで無理やり物事を理解しようとするから、日本企業が
出す電化製品は過去の焼き直しがメインで、リモコンはやたら複雑で誰も使わないマニアな機能がつくだけで
本質的で画期的な進化は期待できないのでは？
2023/03/28(火)16:28:09.48(CrFgi3o5.net)
331１３２人目の素数さん
論文を書くには役に立ってそうだね。
しかし利益が出ないと意味がない。
応用とはそういうもの。
その論文に基づいて、
特許なりなんなりを取得して、
誰かが企業して成功したら役に立つと認めるよ。
2023/03/28(火)17:47:13.74(HIHzSBvh.net)
332１３２人目の素数さん
2023/03/28(火)17:56:42.38(sLyFrg3J.net)
333１３２人目の素数さん [sage]
2023/03/28(火)21:04:22.43(yKVfkop7.net)
334１３２人目の素数さん
kwsk
2023/03/28(火)22:53:54.59(hsF37p1R.net)
335１３２人目の素数さん [sage]
本当に実現できるなら暗号鍵なんか
簡単に破られてしまうだろう？
2023/03/29(水)00:22:51.43(kFGI/nG9.net)
336１３２人目の素数さん
>>宣伝ばかりで中身がない
>>本当に実現できるなら暗号鍵なんか
>>簡単に破られてしまうだろう？
稼働を始めたということは
これから素晴らしい中身が
伴うのだが、その結果
今用いられている暗号鍵なんか
簡単に破られてしまうのは問題であろうということで
将来に向けての課題をも提示しており
大いに宣伝の価値あり
米国におけるプラズマの成功と
同等以上の功績である
2023/03/29(水)07:10:52.36(QLLxWkIM.net)
337１３２人目の素数さん [sage]
湯水の如く使いたい
2023/03/29(水)08:47:29.87(RlXM7WuS.net)
338１３２人目の素数さん [sage]
2023/03/30(木)01:43:30.03(ZpW6zxw9.net)
339１３２人目の素数さん [sage]
もしかして量子コンピューターが実現されてないと思ってる？
2023/03/30(木)13:35:32.91(mduK5P+y.net)
340１３２人目の素数さん [sage]
数値になるものが想定できて、それぞれの数値を空間とみなすことができる…みたいな理解でおKなの？
2023/04/05(水)15:14:32.26(KC/9n8Tp.net)
341１３２人目の素数さん
2023/04/08(土)15:54:56.45(OwVLLsnT.net)
342１３２人目の素数さん
2023/04/08(土)16:56:15.95(g0f2+QvS.net)
343１３２人目の素数さん [sage]
一つ一つブラッシュアップしていくなら、まず「それぞれの数値の集まりが空間とみなすことができる」のがより正確
ここでは何かしらのモノが空間になるわけではなく、モノの集まりが空間になる
次に「その場所と数値の対応の集まりが空間とみなすことができる」のがより正確
「東京の気温」みたいな特定の「数値」ではなく、「どこどこの気温はいくら」っていう場所と数値の対応の集まりが双対空間
で、一応最後に「その場所と数値の対応の中で線形なものの集まりが空間とみなすことができる」のがより親切
例に出してる「気圧」とか「気温」が線形になるなんてイカれた状況が起こる確率は0なので、自分の理解を確認するなら例の不適切な部分は理解してるというエクスキューズがほしい
で、そもそも上記の部分で本当に誤解してるのかどうかも曖昧な状態でこんだけ細々した説明をするのは面倒だからスルーが安牌ではある
2023/04/08(土)19:30:18.66(yb1Tl7wg.net)
344１３２人目の素数さん [sage]
そうしないとその先いずれ躓くと思うの
2023/04/09(日)01:22:26.13(Vsr+W/Ph.net)
345１３２人目の素数さん
OKじゃない。
2023/04/09(日)10:49:30.55(cGwypitB.net)
346１３２人目の素数さん
(Tは温度の)dTとかも、完全断熱状態は不可能だから原子・分子1個分変化の温度変化量（理論計算上は、あっても）とか意味なさないしな。
2023/04/09(日)15:05:18.12(o8snySRk.net)
347１３２人目の素数さん [sage]
こいつはただのバカ
2023/04/09(日)17:49:24.70(eY4z5J+Q.net)
348１３２人目の素数さん
2023/04/11(火)01:19:05.50(IcWsdUip.net)
349１３２人目の素数さん [sage]
2023/04/11(火)08:29:56.49(ZHleht4z.net)
350１３２人目の素数さん [sage]
もしかして高校生？
それなら先に線形代数の教科書を読むことを勧める
一冊まるまるじゃなくて、線形写像の説明が出てくるところまででいいから
その上で誤解してそうな部分を指摘しておくと、ここでいう線形っていうのは線形空間の元である(=足し算や実数倍ができる)っていう意味ではなく、線形関数である(=fを関数(=場所と数値の対応)、x,yを位置ベクトル、aを実数としたとき、af(x)=f(ax)及びf(x+y)が成り立つ)という意味ね
そして、重力による位置エネルギーは関数ではあるけれど、線形関数ではないので、双対空間を考える際の例としてはあまりよくない
それと、>>343にも同じ意味のことを書いたけれど、線形関数が空間になるのではなく、線形関数を集めた集合(=ものの集まり)が空間になる
2023/04/11(火)11:08:47.16(jQJ0fivW.net)
351１３２人目の素数さん [sage]
2023/04/11(火)11:10:56.79(jQJ0fivW.net)
352１３２人目の素数さん
2023/04/11(火)12:14:39.26(RW/k9SVI.net)
353１３２人目の素数さん [sage]
検索してもヒットしない
2023/04/11(火)17:23:43.37(TIIlcojf.net)
354１３２人目の素数さん [sage]
2023/04/11(火)18:16:50.04(rQUqH/nf.net)
355１３２人目の素数さん [sage]
例えば、座標(a,b) に対応して 関数 y=ax+b みたいなのがいっぱいあって、その集合が相対空間って理解でOK？
2023/04/13(木)15:53:42.70(j3V49MiF.net)
356１３２人目の素数さん [sage]
違う
まず、大学以上の数学でいう「〇〇空間」は、必ずしも我々のいる3次元空間のような「位置を元に持つ集合」のことではない
例えばベクトル空間の元は数列だったり関数だったりピカチュウだったりすることもある
とりあえず今は、「〇〇空間」という名前でも、そういう名前がついてるだけのただの集合だと思っていい
それを踏まえて、R^3(3次元ユークリッド空間)の双対空間の元は3変数関数のうち線形関数であるものである
例えばf(x, y, z)=8x+y-10zとなるような関数fやg(x, y, z)=-3x+2zとなるような関数gがR^3の双対空間の元である
こういったfやgは必ずしもR^3の元と一対一に対応してる必要はない
で、線形代数の教科書は学部一年生向けに書かれているため、こういう初学者にありがちな誤解に対する注意も書かれてたりするのもあって、あなたは一度線形代数の教科書を読んどいた方がいいと思う
2023/04/13(木)21:26:53.01(2AHfoj+d.net)
357１３２人目の素数さん
2023/05/04(木)13:32:56.11(lirrvs3p.net)
358１３２人目の素数さん [sage]
曼荼羅の仏の代わりにピカチュウを並べたんか？
2023/05/06(土)18:46:31.69(1fD62zhx.net)
359１３２人目の素数さん [sage]
{ピカチュウ, ベトベトン, タケシ}が張る自由ベクトル空間の元ピカチュウ(=1ピカチュウ+0ベトベトン+0タケシ)とか
2023/05/07(日)00:09:05.51(3565NU//.net)
360１３２人目の素数さん
2023/05/15(月)18:17:17.20(m6Up1w8L.net)
361１３２人目の素数さん
2023/05/25(木)07:49:00.03(F2s8KCd7.net)
362１３２人目の素数さん
dy/dx＝e^x というか、というワケでぢやなくて
dy/dx＝e^x+C だろ？ というか、コレを解くと んーーー
dy/dx＝e^x+Cx+C かな❓ 違うのかな とにかく
無限回やれば、
dy/dx＝e^x+C+Cx2+Cx3+Cx4+・・・・・・ になるか？🤔
e^xって無限に微分しまくっても、定数とかゼロにならない
ってことは、e^xってマクローリン(テイラー)展開しても
ゼッタイ誤差がゼロにならないのか
というか、dxとかdyって無限小だろ❓
εδ論法のδぢゃないかな？ ていうかδより小さいかもね🤔
モチロン、そんな実数は存在させませーーーーん
っていう霊感をピピっと感じちゃいました。
2023/05/29(月)11:29:38.58(PfG0Uh/3.net)
363１３２人目の素数さん [saga]
微分形式を表すときはdx
無限小を表すときはΔx
という風に区別したほうがいい
2023/10/08(日)13:13:46.26(5zJBfMmN.net)
364１３２人目の素数さん [sage]
2023/10/22(日)00:57:50.55 Vx1pakuz.net
365１３２人目の素数さん [sage]
2023/10/25(水)12:01:56.27(hMya+Vzm.net)
366１３２人目の素数さん
2023/10/29(日)23:53:14.40 XIwjen5M.net
367１３２人目の素数さん [sage]
あほぉーーーーーーーーーッ!!!
2023/10/30(月)00:12:36.98 FlSHetFs.net
368１３２人目の素数さん [sage]
2023/10/30(月)00:27:33.37 nfuZJPOl.net
369１３２人目の素数さん
2023/10/30(月)07:22:06.03 BrQUzVO2.net
370１３２人目の素数さん [sage]
意味ありげなライプニッツ記法を恨むイギリスのニュートンシンパぐらいの時期の数学水準がお似合いや。
2023/10/31(火)03:53:23.03(TTwB0+p3.net)
371１３２人目の素数さん
2023/10/31(火)11:41:02.52 0NKYaWxB.net
372１３２人目の素数さん
2023/11/01(水)10:40:25.89(FRQ9rdQB.net)
373１３２人目の素数さん [saga]
ｄｘ・ｄｙ
これの違いが分かる人いる？
2023/11/01(水)13:40:02.18 cLXFxScW.net
374１３２人目の素数さん
2023/11/01(水)22:52:56.91 FRQ9rdQB.net
375１３２人目の素数さん [sage]
この場合のdxdyは外積と対称積のどちらですか
2023/11/01(水)23:26:43.07 cLXFxScW.net
376１３２人目の素数さん
2023/11/02(木)07:20:10.41 y5+5KTpX.net
377１３２人目の素数さん
dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱うことができるのはなぜ？という疑問
自分なりの直感的理解を書くけどこれで合ってる？
dyとかdxとかは無限小の概念
この点がΔ表記との違い
要するに、lim(Y→0)とかlim(X→0)なので
分数自体が定義されない
∞/∞が数でないのと同じ
ただ、極限値は有限の値なので分数表記できるし矛盾なく計算できる
2023/11/04(土)05:21:28.07 0ZP64CIh.net
378１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/04(土)06:35:10.45(YeW6FE7J.net)
379１３２人目の素数さん
君はどうやら中学生みたいなのでさようなら👋
2023/11/04(土)14:17:32.65(0ZP64CIh.net)
380１３２人目の素数さん [sage]
ある意味では微分形式として正当化できる。
2023/11/04(土)14:33:27.12(Hd+RkqEo.net)
381１３２人目の素数さん [sage]
消えろｗｗ
2023/11/04(土)17:28:58.37(YeW6FE7J.net)
382１３２人目の素数さん [sage]
ホントの意味は何にバッチリ書いているの？
2023/11/04(土)17:33:34.90(ZJbHQ0TF.net)
383１３２人目の素数さん [sage]
トゥー多様体とか多様体の教科書なら載ってると思う
2023/11/04(土)18:37:59.93(i2S5g4xz.net)
384１３２人目の素数さん
2023/11/04(土)19:00:07.07 YeW6FE7J.net
385１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/04(土)21:30:16.78 YeW6FE7J.net
386１３２人目の素数さん
2023/11/04(土)22:51:46.55 38wyn8QN.net
387１３２人目の素数さん
接ベクトルの定義から
2023/11/04(土)23:22:32.26 0W+oH0g5.net
388１３２人目の素数さん
Δと微分記号で使うdは同じだと盛大に勘違いしてる奴がいるぞw しかも自信満々なのが痛いw
Δとdの使い分け
https://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id=9128
Δ は 2 つの値の「差」を意味します。
(例えば、ΔU は 2 つの状態での内部エネルギー U の差 )
差をとるときは、常に「新しい方から古い方を引く」と覚えておいてください。(中略)
dU という表記が出てくるときがあります。これは ΔU と同じように 2 つの状態のエネルギー差を表しているのですが、その差が無限小まで小さくなっていることを表しています。
初歩中の初歩ですよマジで
2023/11/05(日)00:59:36.54 BR7I8ifb.net
389１３２人目の素数さん [sage]
ニュートン記法とかランダウの記号のほうがいいの？
2023/11/05(日)01:19:50.27 mnbABCCP.net
390１３２人目の素数さん [sage]
これが答えだ
2023/11/05(日)01:44:41.01 IqHMdRFa.net
391１３２人目の素数さん
同じでもいいやん
2023/11/05(日)05:40:08.92 WtePLvZ5.net
392１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/05(日)14:18:12.34(ZLXDCpHP.net)
393１３２人目の素数さん
2023/11/06(月)09:03:44.67 4HoFsi7p.net
394１３２人目の素数さん
どの程度の厳密性を求めるかにもよるだろう
2023/11/06(月)10:42:34.23(DN7G53u1.net)
395１３２人目の素数さん [sage]
他の学問ならまだしも、数学である以上論理学に還元できるレベルの厳密さが必要だよね
2023/11/06(月)11:21:54.92(AJDimmk/.net)
396１３２人目の素数さん
実際に厳密にそれを実行する必要はない
ラッセルとホワイトヘッドがやったことを
いちいちすべての数学でやってもしょうがない
2023/11/06(月)12:32:22.71(DN7G53u1.net)
397１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/06(月)16:35:17.34 RVEkBJTR.net
398１３２人目の素数さん
ところで最近の日本人が使う「接ベクトル」という用語法は間違ってるはず
2023/11/06(月)17:03:48.94 VoR2jbkn.net
399１３２人目の素数さん
2023/11/06(月)17:09:06.59 VoR2jbkn.net
400１３２人目の素数さん [sage]
微小とかが嫌だって書いているだろうにｗ
2023/11/06(月)18:58:49.04(RVEkBJTR.net)
401１３２人目の素数さん [sage]
「～のことだと分かる」って日本語の意味がよく分からないんだけど
2023/11/06(月)19:42:26.73(AJDimmk/.net)
402１３２人目の素数さん
dy≒Δｙとする事ができる程の微小という事
2023/11/06(月)20:10:20.65(VoR2jbkn.net)
403１３２人目の素数さん
2023/11/06(月)21:52:48.92 W0cso/Z5.net
404１３２人目の素数さん [sage]
数学は論理が全てではなくて、他にお気持ちとか重要なものはあるけど、それもこれも論理的正しさがベースにあってこそ
2023/11/06(月)22:41:38.42(BibX6e7B.net)
405１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/06(月)23:54:01.29(RVEkBJTR.net)
406１３２人目の素数さん
ワカランなら別にいいよ
2023/11/07(火)00:20:59.50(VbFajO2c.net)
407１３２人目の素数さん
2023/11/07(火)00:22:06.63(VbFajO2c.net)
408１３２人目の素数さん [sage]
何番の書き込みのことをいっているのだ？
2023/11/07(火)07:47:43.37 EhFc3J9H.net
409１３２人目の素数さん
390のどこに「微小変位」が必要？
2023/11/07(火)10:31:00.67(ivDADiXg.net)
410１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/07(火)11:00:40.38(EhFc3J9H.net)
411１３２人目の素数さん
2023/11/07(火)11:16:34.50(ivDADiXg.net)
412１３２人目の素数さん
微笑じゃない
→０の部分が微小の意と解釈できるけど
そこは無限小で
2023/11/07(火)11:25:50.26(VbFajO2c.net)
413１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/07(火)11:40:18.25(1g155nkN.net)
414１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/07(火)12:09:38.07(EhFc3J9H.net)
415１３２人目の素数さん
しっかり押さえていれば
全然あいまいなことはない
2023/11/07(火)13:53:50.92(SLlI+vpk.net)
416１３２人目の素数さん
未定義語じゃなく、「収束する」な
2023/11/07(火)14:09:32.87(SSuvZGNJ.net)
417１３２人目の素数さん [saga]
積分記号∫と一緒のdx、dyは測度を表す
2023/11/07(火)15:15:33.24 eAJ2AoXz.net
418１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/07(火)16:01:44.61 1g155nkN.net
419１３２人目の素数さん
2023/11/07(火)19:48:27.29 SSuvZGNJ.net
420１３２人目の素数さん [sage]
閉論理式ワロタ
任意のδ>0に対してδ<|2δ|なので
∀δ > 0, ∃Δｘ, ¬(0 < |Δｘ| < δ)
よって偽
Δx→0が未定義じゃないとか「dxは微小変位」が厳密な定義とか言ってるやつって結局この程度の馬鹿しかいないんだよな
2023/11/07(火)20:12:12.70(vJtxykk/.net)
421１３２人目の素数さん
2023/11/07(火)21:59:23.19(ivDADiXg.net)
422１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/07(火)22:30:51.29(EwFVtkuX.net)
423１３２人目の素数さん
論理式の問題などではない
2023/11/07(火)23:09:10.78(ivDADiXg.net)
424１３２人目の素数さん
2023/11/07(火)23:27:36.94(SSuvZGNJ.net)
425１３２人目の素数さん [sage]
今度は集合Aに関する論理式かよワロタ
A=∅ならばΔx∈Aが存在しないので偽
A≠∅ならばδ=1, ΔxはAの元, B=∅とすることで∀h(h∈B→0<|ｈ|<δ)が真となるので全体も真
よってこの論理式は集合Aが空でないことと同値
で、集合Aが空でないことが何の定義になるんだよｗｗｗ
2023/11/07(火)23:58:09.69(EwFVtkuX.net)
426１３２人目の素数さん [sage]
じゃあ君はどんな言語で定義を示してくれるの？
2023/11/08(水)00:03:59.47(yWqWZedh.net)
427１３２人目の素数さん
2023/11/08(水)00:17:35.65 HaeF5xg3.net
428１３２人目の素数さん
2023/11/08(水)07:04:44.39(HaeF5xg3.net)
429１３２人目の素数さん
Δｘ→0はΔｘが０に近づくとき、であって近づくとは言っていない。
2023/11/08(水)08:27:10.85(vXRh60v7.net)
430１３２人目の素数さん
2023/11/08(水)08:28:46.65(HaeF5xg3.net)
431１３２人目の素数さん [sage]
じゃあどこに定義が書かれてるの？
2023/11/08(水)16:28:55.08(yWqWZedh.net)
432１３２人目の素数さん [sage]
「Δｘが０に近づくとき」の定義は？
2023/11/08(水)16:29:40.67(yWqWZedh.net)
433１３２人目の素数さん
すべてのΔｘより大きいδをとって定義をすればおｋ
2023/11/08(水)16:42:38.69(vXRh60v7.net)
434１３２人目の素数さん [sage]
意味の取れない部分が多々あるんだけど、
1) まずそれは>>432の質問に対する回答ってことでいい？だとするとそれは「Δｘが０に近づくとき」の定義と解釈することになるけど
2) 「すべてのδより大きいΔｘをとって」や「すべてのΔｘより大きいδをとって」とは「∀δ, Δx>δを満たすΔxをとって」や「∀Δx, δ>Δxを満たすδをとって」という意味でいい？だとするとそのようなΔxもδも存在しないけど
2023/11/08(水)17:06:51.66(yWqWZedh.net)
435１３２人目の素数さん
2023/11/08(水)17:51:26.55(vXRh60v7.net)
436１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/08(水)18:46:49.74(yWqWZedh.net)
437１３２人目の素数さん [sage]
学校行って聞いて来いやハゲ親父ｗ
2023/11/08(水)19:42:36.85(vXRh60v7.net)
438１３２人目の素数さん [sage]
お前が書いた文章に関してお前がどういう意図で書いたか聞いてるんだからお前にしか聞きようがないだろ
2023/11/09(木)00:02:02.52(b+6xWo5P.net)
439１３２人目の素数さん
2023/11/09(木)05:10:32.32(p/K1taSK.net)
440１３２人目の素数さん
2023/11/09(木)07:06:19.86(1ZwzN0Uh.net)
441１３２人目の素数さん
2023/11/09(木)14:59:53.80(fDzcuy02.net)
442１３２人目の素数さん
2023/11/09(木)20:17:16.12(p/K1taSK.net)
443１３２人目の素数さん [sage]
数学的には不正確だけど、物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思う
2023/11/09(木)22:37:10.97(b+6xWo5P.net)
444１３２人目の素数さん [sage]
ここは数学板
2023/11/10(金)00:51:22.79(AwagT77D.net)
445１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/10(金)04:06:46.23(cyl4Hcbk.net)
446１３２人目の素数さん
2023/11/10(金)09:16:39.43(cyl4Hcbk.net)
447１３２人目の素数さん [sage]
物理とか工学で使う分にはそういう扱いでもほとんど問題ないと思うけど、数学的には不正確、って言えばいい？
2023/11/10(金)14:18:33.82(KxjkkWzW.net)
448１３２人目の素数さん [sage]
＞この無限小概念恐らくほぼ全ての工学者が理解しないまま使っています。博士号を取得した研究者や大学教授などに聞いても
＞「多分エンタルピーとか微分方程式の解法の操作とか本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいないと思う・・」
＞という意見をよく聞きます。そもそも教えられてないんだから分からないのも当然なんです。
そなの？ｗ
2023/11/11(土)00:12:25.12(g3geMlEw.net)
449１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/11(土)18:45:17.83 VM1+NUJR.net
450１３２人目の素数さん
2023/11/11(土)19:43:12.32(PBRHU33B.net)
451１３２人目の素数さん
2023/11/11(土)20:31:49.03(8yU7EMOV.net)
452１３２人目の素数さん [sage]
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？
2023/11/11(土)20:41:47.85(g3geMlEw.net)
453１３２人目の素数さん
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと
2023/11/11(土)21:10:50.97(PBRHU33B.net)
454１３２人目の素数さん [sage]
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる
2023/11/11(土)23:37:38.27(VM1+NUJR.net)
455１３２人目の素数さん [sage]
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ
2023/11/12(日)01:10:04.65(NO7vYvM7.net)
456１３２人目の素数さん [sage]
巨旦将来
2023/11/12(日)01:36:30.11(X9OLp5fz.net)
457１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/12(日)09:57:43.72(NxcYCZJI.net)
458１３２人目の素数さん [sage]
意味なんてない！だからいいんだ！！
2023/11/12(日)12:06:41.20(X9OLp5fz.net)
459１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/12(日)13:44:43.31(SOc9iGva.net)
460１３２人目の素数さん
2023/11/12(日)13:57:41.72(xiujlBcd.net)
461１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/12(日)15:12:07.47(/A4A4C9B.net)
462１３２人目の素数さん [sage]
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？
2023/11/12(日)17:05:01.24(mnfmYQME.net)
463１３２人目の素数さん
それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう
2023/11/13(月)03:09:15.69(Y7Xk5f++.net)
464１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/13(月)16:22:18.48(NKfcmFD+.net)
465１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/13(月)20:54:18.05(hpgCN73x.net)
466１３２人目の素数さん [sage]
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ
2023/11/13(月)23:59:34.74(3ivFNyzC.net)
467１３２人目の素数さん [sage]
まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。
要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話
2023/11/20(月)16:39:07.33(1aWSKqzz.net)
468１３２人目の素数さん
2023/11/20(月)21:03:25.23(mGrD9qP0.net)
469１３２人目の素数さん
アレでやった方がいいような気がする
2023/11/20(月)21:04:12.41(mGrD9qP0.net)
470１３２人目の素数さん [sage]
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ)
2023/11/21(火)03:28:41.00(xqhq4zSt.net)
471１３２人目の素数さん [sage]
厳密になりたつように改良したのが微分形式
2023/11/21(火)09:09:16.83(P91Hf6On.net)
472１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/21(火)13:37:48.54(W0lkXlzY.net)
473１３２人目の素数さん
2023/11/21(火)21:05:51.77(xqhq4zSt.net)
474１３２人目の素数さん [sage]
メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな
2023/11/21(火)21:58:57.24(tkt2EQPE.net)
475１３２人目の素数さん [sage]
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている
2023/11/21(火)22:32:08.37(P91Hf6On.net)
476１３２人目の素数さん
f(x)dxで1-formでしょ？
2023/11/21(火)22:52:22.62(Q4KrBHYQ.net)
477１３２人目の素数さん [sage]
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき
2023/11/22(水)00:02:32.51(+pjWx480.net)
478１３２人目の素数さん [sage]
そういやそうだなｗ
2023/11/22(水)00:08:51.55(qA5tKRcg.net)
479１３２人目の素数さん [sage]
それがどうした？
2023/11/22(水)00:42:39.99(cvDYtBuK.net)
480１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/22(水)00:43:16.11(WsDwy1Le.net)
481１３２人目の素数さん [sage]
そういうことよ
2023/11/22(水)00:50:51.91(WsDwy1Le.net)
482１３２人目の素数さん
別に測度いらないってこと
2023/11/22(水)03:04:04.20(+Th2VTl4.net)
483１３２人目の素数さん [sage]
測度がわかってないみたいだね
2023/11/22(水)18:11:54.63(cvDYtBuK.net)
484１３２人目の素数さん
2023/11/22(水)21:11:15.29(+Th2VTl4.net)
485１３２人目の素数さん [sage]
けど、基本部分は dx は微少増分って扱いなんだよな。
2023/11/24(金)23:49:02.87(OE2Tx1Ie.net)
486１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/25(土)09:31:00.66(MEgh7b5d.net)
487１３２人目の素数さん
2023/11/25(土)14:05:42.63(4zvj8R60.net)
488１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/25(土)15:43:40.88(MEgh7b5d.net)
489１３２人目の素数さん [sage]
そんなやつが厳密に数学してるわけないという
2023/11/25(土)16:32:35.97(c9x88JtY.net)
490１３２人目の素数さん
お前はもっと曖昧模糊だけどな
2023/11/25(土)17:17:38.37(YwBKstAN.net)
491１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/26(日)01:03:20.31(51XJFANH.net)
492１３２人目の素数さん [sage]
接線の「気持ち」としてはわかるにしても
解析概論のその説明はいろいろとおかしいな
まず「積分」を先に考えて、「微分」はそれの
「逆操作」とみなすほうがいいのかもしれんね
そうすれば、ε-δも当面は必要ないのではないか
楕円関数も楕円積分の逆として理解できる様に
2023/11/26(日)09:10:06.60(fBv1vyoe.net)
493１３２人目の素数さん [sage]
局所線形化写像とかの現代数学っぽく聞こえる言い換えを言い返ししたくなる。
2023/11/26(日)10:16:22.08(5SZ2LahV.net)
494１３２人目の素数さん [sage]
積分をリーマン積分で定義するならどうせε-δが必要になる(それも分割の大きさに対するε-δだから関数の極限のε-δ以上にややこしい)
ルベーグ積分でも正項級数の定義くらいは必要になる
それに微分を積分の逆として定義すると、max(0, x)が微分可能になったり、f(x)=1の導関数が一意に定まらなくなったりする(導関数とほとんど至る所で一致するすべての関数が導関数になる)
2023/11/26(日)11:06:44.44(t8ndT9vF.net)
495１３２人目の素数さん [sage]
ジョークが通じないというか
関わりたくないタイプ
2023/11/26(日)11:32:45.57(fBv1vyoe.net)
496１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/26(日)16:30:37.45(t8ndT9vF.net)
497１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/26(日)21:55:53.60(51XJFANH.net)
498１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/27(月)01:53:26.32(diEZzC8c.net)
499１３２人目の素数さん [sage]
2023/11/28(火)14:34:29.61(kX1tj2qn.net)
500１３２人目の素数さん [sage]
ここの住人と重なる部分がある
2023/12/05(火)18:14:38.43(7+0i0NU3.net)
501１３２人目の素数さん
dLにも満たない距離だな。
2024/03/06(水)15:27:55.66(pYygn0Mk.net)
502１３２人目の素数さん [sage]
地面が空気を温める
という説明で充分だろ
空気が太陽光を通す事も必要か？
2024/03/08(金)22:49:38.39(cjQoQU7+.net)
503１３２人目の素数さん [sage]
超準解析で詳しく定義されているようだが、理解不能とか…正直に意味はないと考え単に計算規則として提示している人は正直で…好感がモテた。
でも、意味は無いのに計算規則だけ出てくるのは解せない。
2024/03/15(金)02:42:49.36(7Qvy7wd8.net)
504１３２人目の素数さん [sage]
でも定義は明記しろよ
2024/03/15(金)17:20:08.34(7Ha6oFUY.net)
505１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/19(火)00:26:00.82(M+zafjgf.net)
506１３２人目の素数さん [sage]
次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ～ると定義する
(i) 任意のSの元aに対してa*a=a
(ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a
みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね
2024/03/19(火)13:42:21.44(ExCJHSAY.net)
507１３２人目の素数さん
2024/03/19(火)14:53:10.01(vJk88FwX.net)
508めだかの学校
20年くらい前やはり同じ話題があがり
微分は数でもないし、関数でもない
というレスを見て考え込んでしまった。
純粋数学とは全く無縁の自分は「微小変化」で満足しているけどwww
2024/03/19(火)15:45:18.10(m4LUFK3v.net)
509１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/19(火)16:12:36.84(XefYR4bA.net)
510１３２人目の素数さん [sage]
微分(接空間)が分からんのに微分形式が分かる訳がない
2024/03/19(火)18:26:37.40(bkwMl2kT.net)
511１３２人目の素数さん [sage]
あるいは多変数のほうが現実的具体的で簡単明瞭な可能性もある。
2024/03/19(火)20:12:31.93(SooiL5Ao.net)
512１３２人目の素数さん
2024/03/19(火)23:03:22.86(EJrt/yJO.net)
513１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/20(水)13:25:44.46(YIpNyLh8.net)
514１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/20(水)19:02:55.66(x8KFPbip.net)
515１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/20(水)22:35:40.35(l1g0ZqUw.net)
516１３２人目の素数さん [sage]
接空間って要するに接線を２次元とか３次元とかに一般化したモノでしょ？
2024/03/21(木)15:40:38.93(cuZGxIVV.net)
517１３２人目の素数さん [sage]
それをさらに一般化したものだよ
2024/03/21(木)23:02:44.60(jDc10zUA.net)
518１３２人目の素数さん [sage]
どっち方面にｗ
2024/03/22(金)00:57:41.89 stCCMxWS.net
519１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/22(金)12:15:09.89(x9+L0zvm.net)
520１３２人目の素数さん [sage]
だから、これだけ紛糾しているわけだ。
局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの？
後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。
2024/03/23(土)01:12:01.52 gMwBe72B.net
521１３２人目の素数さん
実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差＝電子1個の質量は無視。
2024/03/23(土)13:24:22.26(oTMUBg0r.net)
522１３２人目の素数さん [sage]
個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね
例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか
2024/03/23(土)13:26:31.64(la6VuWST.net)
523１３２人目の素数さん
地球上の数mの範囲とか
2024/03/23(土)13:40:45.37(oTMUBg0r.net)
524１３２人目の素数さん [sage]
馬鹿は黙ってて
2024/03/23(土)13:47:22.79(la6VuWST.net)
525１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/23(土)15:14:58.26(gMwBe72B.net)
526１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/23(土)16:14:14.53(vHrlgd3o.net)
527１３２人目の素数さん [sage]
最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ
2024/03/26(火)13:21:40.88(HpXS7lLW.net)
528１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/26(火)17:22:57.35(umzhxECP.net)
529１３２人目の素数さん [sage]
馬鹿は黙ってて
2024/03/26(火)20:26:58.38(ul2VYFRV.net)
530１３２人目の素数さん [sage]
接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね
2024/03/26(火)20:47:39.04(ul2VYFRV.net)
531１３２人目の素数さん [sage]
何も近似してない
2024/03/27(水)14:47:35.80(MA/zdQyl.net)
532１３２人目の素数さん [sage]
びっくりするかもしれねぇけど円以外の曲線も接線を持つんだぜ！
2024/03/27(水)17:13:58.33(Tv2vID6a.net)
533１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/28(木)12:43:06.27(bdyAo30D.net)
534１３２人目の素数さん [sage]
f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a)
であるのみならず
(f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a)
だからね
f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある
2024/03/28(木)19:13:35.60(YaoH9RHd.net)
535１３２人目の素数さん
接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。
εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。（対角線論法は2^nというところを見落としているから論外）非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf
あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。
2024/03/29(金)14:14:52.86(k4bFXZdE.net)
536１３２人目の素数さん [sage]
馬鹿は黙ってて
2024/03/29(金)19:21:23.47(Rr1gMtwd.net)
537１３２人目の素数さん [sage]
2024/03/31(日)22:19:09.76(p6wE37V/.net)
538１３２人目の素数さん
2024/04/02(火)12:37:08.18(jGCEL89q.net)
539１３２人目の素数さん
昔はf(x)もfxと書いてた
sin,cos.tan.log,exp等名残
2024/04/02(火)16:10:32.37(9fKf9myp.net)
540１３２人目の素数さん [sage]
「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く（近傍）に開集合を取るとユークリッド空間の
性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーｗ
2024/04/07(日)10:07:36.78(kGb4JOWj.net)
541１３２人目の素数さん
適当でいいんだよ
2024/04/07(日)10:40:22.31(cdvHXkED.net)
542１３２人目の素数さん
2024/04/07(日)11:23:24.02(f0UdZ9sX.net)
543１３２人目の素数さん [sage]
文盲
2024/04/07(日)13:12:31.66(cmyQpGfV.net)
544１３２人目の素数さん [sage]
あの意図不明な多様体の定義はその解釈で理解可能なのか？
2024/04/08(月)22:15:24.35(5B4vhjxm.net)
545１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/18(木)19:37:47.83(qI+kaR63.net)
546１３２人目の素数さん
T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も？
2024/04/18(木)20:09:33.02(9DQ6O8eP.net)
547１３２人目の素数さん
貼り合わせによって解を構成する
2024/04/18(木)22:42:17.71(W65yRImT.net)
548１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/19(金)07:42:47.41(o7NDCrQE.net)
549１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/19(金)07:46:36.26(p6YqavVz.net)
550１３２人目の素数さん
多様体として扱うことになるだろう
2024/04/19(金)10:04:52.64(fnpmo5F/.net)
551１３２人目の素数さん
多様体として扱うことになるだろう
2024/04/19(金)11:02:11.62(ksY4e4ty.net)
552１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/19(金)17:36:52.26(p6YqavVz.net)
553１３２人目の素数さん
トーラスのことと思うよ
2024/04/19(金)18:14:44.31(bZSXXXrr.net)
554１３２人目の素数さん [sage]
トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん
そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ
2024/04/19(金)18:43:29.48(p6YqavVz.net)
555１３２人目の素数さん
2024/04/19(金)20:44:31.54(bZSXXXrr.net)
556１３２人目の素数さん
テキトーにではなく適当に作れば多様体になる
2024/04/20(土)16:39:11.20(lgVZM1FC.net)
557１３２人目の素数さん
2024/04/20(土)20:30:20.11(lgVZM1FC.net)
558１３２人目の素数さん
2024/04/21(日)17:48:58.53(WRaJc4pY.net)
559１３２人目の素数さん [sage]
変分も積の公式は成り立つ
2024/04/26(金)00:35:36.24(Nnj4aAHS.net)
560１３２人目の素数さん [sage]
それが外微分
2024/04/26(金)00:36:19.71(Nnj4aAHS.net)
561１３２人目の素数さん
by 松田 道彦 (著)
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外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。
2024/04/28(日)09:42:51.86(JbWAVbl4.net)
562１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/28(日)21:36:00.74 gjKINs88.net
563１３２人目の素数さん
by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳)
2024/04/29(月)11:06:45.92(or3lrBic.net)
564１３２人目の素数さん
2024/04/29(月)23:12:35.54(Hr3zU5cv.net)
565１３２人目の素数さん
2024/04/29(月)23:18:19.27(W8AYFE3P.net)
566１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/30(火)02:06:05.68(KhJCxJ5B.net)
567１３２人目の素数さん [sage]
>1の素朴な疑問的には問題ありあり
2024/04/30(火)09:56:59.51(CMtddt7Z.net)
568１３２人目の素数さん
2024/04/30(火)11:53:21.45(dZrmuZxS.net)
569１３２人目の素数さん
2024/04/30(火)13:10:47.14(I7aNbH2d.net)
570１３２人目の素数さん [sage]
前スレならともかく
2024/04/30(火)13:25:39.52(eeZTB8FP.net)
571１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/30(火)20:51:54.70(CMtddt7Z.net)
572１３２人目の素数さん [sage]
2024/04/30(火)23:21:01.53(WMyDaPyf.net)
573１３２人目の素数さん [sage]
止せっつってんのに余接空間で連呼
2024/04/30(火)23:21:42.05(WMyDaPyf.net)
574１３２人目の素数さん
2024/05/01(水)09:17:12.88(sgJI4piv.net)
575１３２人目の素数さん
2024/05/01(水)09:18:59.56(8OeQUrrJ.net)
576１３２人目の素数さん
dxとかdyって余接空間のただの基底だから
そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから
関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから
2024/05/01(水)09:22:23.77(8OeQUrrJ.net)
577１３２人目の素数さん
単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる？
それ素人の初歩的妄想的誤解
結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから
極限が心理的に受け入れられないからって、
極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ
2024/05/01(水)09:26:45.98(8OeQUrrJ.net)
578１３２人目の素数さん
「df/dxってなんだ？」
「dfをdxで割った値だよ」
とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな
df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない
2024/05/01(水)09:30:08.70(8OeQUrrJ.net)
579１３２人目の素数さん
線型写像で近似してるからだぞ
その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン
線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな
陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも
もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが
わかってない場合が多い
対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから
2024/05/01(水)09:41:44.60(8OeQUrrJ.net)
580１３２人目の素数さん [sage]
関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
2024/05/01(水)11:56:43.66(tkbookfX.net)
581１３２人目の素数さん
ふむふむ
2024/05/01(水)21:51:51.07(fmjEF4yW.net)
582１３２人目の素数さん
2024/05/01(水)22:09:21.11(sgJI4piv.net)
583１３２人目の素数さん
2024/05/04(土)13:21:56.51(myAjc1vp.net)
584１３２人目の素数さん
2024/05/05(日)08:28:58.59(IVZzp+jD.net)
585１３２人目の素数さん
2024/05/05(日)10:12:21.66(IVZzp+jD.net)
586１３２人目の素数さん [sage]
多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが
2024/05/06(月)18:51:15.83(ZxBZ9IvW.net)
587１３２人目の素数さん [sage]
dg algebraのこと？
2024/05/06(月)22:24:02.06(BrY/Xomq.net)
588 警備員[Lv.10][苗]
約分できたりできなかったり
人を惑わすための記号です
2024/05/07(火)18:32:24.32 9LgougMS.net
589１３２人目の素数さん [sage]
見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな
一応>>505の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが
2024/05/07(火)19:04:20.28 5E2dMoXD.net
590１３２人目の素数さん [sage]
多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ
2024/05/14(火)19:22:23.31 P0cKpxiS.net
591１３２人目の素数さん [sage]
座標系に依存しない
コーディネートフリーに理論を記述したい。
2024/05/15(水)00:33:41.98(EQ3/SQn8.net)
592１３２人目の素数さん [sage]
2024/05/15(水)19:08:19.49(+zn+M4xO.net)
593１３２人目の素数さん
2024/05/16(木)13:51:57.87(dOg/6qA3.net)
594１３２人目の素数さん [sage]
2024/05/16(木)16:56:06.34(JNgkuu8E.net)
595１３２人目の素数さん [sage]
そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない
2024/05/16(木)19:45:02.32(W3TcXR3J.net)
596１３２人目の素数さん [sage]
2024/05/17(金)20:47:44.92(4CanK5sL.net)